Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，D為 的中點(diǎn)，連接OD交弦AC于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AC，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）連接CD，若OA=AE=4，求四邊形ACDE的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵D為 的中點(diǎn)，

∴OD⊥AC，

∵AC∥DE，

∴OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切線

（2）解：連接DC，

∵D為 的中點(diǎn)，

∴OD⊥AC，AF=CF，

∵AC∥DE，且OA=AE，

∴F為OD的中點(diǎn)，即OF=FD，

在△AFO和△CFD中，

∴△AFO≌△CFD（SAS），

∴S△AFO=S△CFD，

∴S四邊形ACDE=S△ODE

在Rt△ODE中，OD=OA=AE=4，

∴OE=8，

∴DE= =4 ，

∴S四邊形ACDE=S△ODE= ×OD×DE= ×4×4 =8 ．

【解析】（1）欲證明DE是⊙O的切線，只要證明AC⊥OD，ED⊥OD即可．（2）由△AFO≌△CFD（SAS），推出S△AFO=S△CFD ， 推出S四邊形ACDE=S△ODE ， 求出△ODE的面積即可．