Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣ x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0）、B兩點，與y軸交于點C（0，2），拋物線的對稱軸交x軸于點D．

（1）求拋物線的解析式；
（2）求sin∠ABC的值；
（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出點P的坐標；如果不存在，請說明理由；
（4）點E是線段BC上的一個動點，過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點F，當點E運動到什么位置時線段EF最長？求出此時E點的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=﹣ x2+bx+c過點A（﹣1，0），C（0，2），

．

∴解析式為y=﹣ x2+ x+2

（2）

解：當y=0時，﹣ x2+ x+2=0解得x=﹣1（舍），x=4，

點B的坐標為（4，0），C（0，2），

BC= =2 ．

∴sin∠ABC=sin∠OBC= =

（3）

解：存在．

∵對稱軸是x= ，

∴點D的坐標為（ ，0），

∴CD= = ．

PD=CD= ，得P（ ， ）或（ ，﹣ ），

PC=CD= ，即P點與D點關于底邊的高對稱，得

D點的縱坐標為4，即P（ ，4），

綜上所述：點P的坐標為（ ， ）或（ ，﹣ ），（ ，4）

（4）

解：設直線BC的解析式為y=mx+n

∵B、C兩點坐標分別為（4，0）、（0，2），

解得 ，

∴直線BC的解析式為y=﹣ x+2．

設E點坐標為（x，﹣ x+2），則F點坐標為（x，﹣﹣ x2+ x+2），

EF=﹣ x2+ x+2﹣（﹣ x+2）

=﹣ x2+2x

=﹣ （x﹣2）2+2，

當x=2時，EF最長，

∴當點E坐標為（2，1）時，線段EF最長

【解析】（1）根據待定系數法，可得函數解析式；（2）根據勾股定理，可得BC的長，根據正弦函數的定義，可得答案；（3）根據等腰三角形的定義，可得P點坐標；（4）根據平行于y軸的直線上兩點間的距離是較大的縱坐標減較小的縱坐標，可得二次函數，根據二次函數的性質，可得答案．
【考點精析】掌握二次函數的圖象和二次函數的性質是解答本題的根本，需要知道二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減��；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減�。�