Question

【題目】如圖，△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，其中∠ACB=∠BDE=90°，AC=BC，BD=ED，連接AE，點F是AE的中點，連接DF．
（1）如圖1，若B、C、D共線，且AC=CD=2，求BF的長度；
（2）如圖2，若A、C、F、E共線，連接CD，求證：DC= DF．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，

∴AC=BC=CD=2，BD=DE=4，BE=4 ，AB=2 ，∠ABC=∠DBE=45°，

∴∠ABE=90°，

∴AE= = =2 ，

∵AF=EF，

∴BF= AE=

（2）證明：作AM∥DE交DF的延長線于M，交BD于N，連接CM．

∵AM∥DE，

∴∠MAE=∠DEF，

在△AFM和△EFD中，

，

∴△AFM≌△EFD，

∴AM=DE=BD，

∵∠BCE=∠BDE=90°，∠COB=∠DOE，

∴∠CBD=∠DEF=∠MAF．

在△ACM和△BCD中，

，

∴△ACM≌△BCD，

∴∠ACM=∠BCD，CM=CD，

∴∠ACB=∠MCD=90°

∴△CDM是等腰直角三角形，

易知△BOC∽△EOD，

∴ = ，

∴ = ，

∴△BOE∽△COD，

∴∠DCO=∠OBE=45°，

∴∠FCD=∠FCM=45°，∵CM=CD，

∴FM=DF，CF⊥DM，

∴△CDF是等腰直角三角形，

∴CD= DF

【解析】（1）證明△ABE是直角三角形，求出AB、BE，理由勾股定理求出AE，再利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)即可解決問題．（2）作AM∥DE交DF的延長線于M，交BD于N，連接CM．只要證明△CDM，△CDF都是等腰直角三角形即可解決問題；
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解等腰直角三角形的相關(guān)知識，掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°．