Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上兩點(diǎn)，且，連接OC，BD，OD．

（1）求證：OC垂直平分BD；

（2）過點(diǎn)C作⊙O的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接AD，CD．

①依題意補(bǔ)全圖形；

②若AD=6，，求CD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）①詳見解析；②

【解析】

（1）根據(jù)等弧所對(duì)的圓心角相等可得∠COD =∠COB，由等角對(duì)等邊的性質(zhì)可得OD = OB，繼而由線段垂直平分線的判定可求證結(jié)論；

（2）①根據(jù)題意補(bǔ)全圖形即可；

②先根據(jù)切線的性質(zhì)和題（1）可知DB∥CE，進(jìn)而可得∠AEC=∠ABD，繼而在Rt△ABD中，推出BD=8，AB=10，然后推導(dǎo)出DF=4，CF=2，繼而在Rt△CFD中，由勾股定理即可求出CD的長(zhǎng)．

（1）證明：∵

∴∠COD =∠COB．

∵OD = OB，

∴OC垂直平分BD．

（2）解：①補(bǔ)全圖形，如圖所示．

②∵CE是⊙O切線，切點(diǎn)為C，

∴OC⊥CE于點(diǎn)C．

記OC與BD交于點(diǎn)F，由（1）可知OC垂直BD，

∴∠OCE=∠OFB=90°．

∴DB∥CE．

∴∠AEC=∠ABD．

在Rt△ABD中，AD=6，，

∴BD=8，AB=10．

∴OA= OB=OC=5．

由（1）可知OC平分BD，即DF= BF，

∴BF=DF=4．

∴．

∴CF=2．

在Rt△CFD中，．