Question

【題目】如圖①，在四邊形中，于點，，點為中點，為線段上的點，且．

（1）求證：平分；

（2）若，連接，當四邊形為平行四邊形時，求線段的長；

（3）若點為的中點，連接、（如圖②），求證：．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）詳見解析.

【解析】

（1）由知 ，由等腰三角形三線合一知AM⊥BC，從而根據(jù)∠MAB+∠ABC＝∠EBC+∠ACB知∠MAB＝∠EBC，再由△MBN為等腰直角三角形知∠EBC+∠NBE＝∠MAB+∠ABN＝∠MNB＝45°可得證；

（2）設(shè)BM＝CM＝MN＝a，知DN＝BC＝2a，證△ABN≌△DBN得AN＝DN＝2a，Rt△ABM中利用勾股定理可得a的值，從而得出答案；

（3）F是AB的中點知MF＝AF＝BF及∠FMN＝∠MAB＝∠CBD，再由，即得△MFN∽△BDC，即可得證．

解：（1）如下圖所示：

∵，

∴，

∵為的中點，

∴

在中，，

在中，，

∴，

又∵，

∴為等腰直角三角形，

∴，

∴，，

∴，即平分；

（2）如下圖所示：

設(shè)，

∵四邊形是平行四邊形，

∴，

在和中，

∵，

∴≌（），

∴，

在中，由可得，

解得：（負值舍去），

∴；

（3）∵是的中點，

∴在中，，

∴，

又∵，

∴，

∵，

∴，

∴∽．

∴．