Question

【題目】已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，點D、E分別在邊BC、DC上，AB2 =BE · DC ，DE:EC=3:1 ，F是邊AC上的一點，DF與AE交于點G．

（1）找出圖中與△ACD相似的三角形，并說明理由；

（2）當DF平分∠ADC時，求DG:DF的值；

（3）如圖，當∠BAC=90°，且DF⊥AE時，求DG:DF的值．

Answer 1

【答案】（1）△ABE、△ADC，理由見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）根據(jù)相似三角形的判定方法，即可找出與△ACD相似的三角形；

（2）由相似三角形的性質，得，由DE=3CE，先求出AD的長度，然后計算得到；

（3）由等腰直角三角形的性質，得到∠DAG=∠ADF=45°，然后證明△ADE∽△DFA，得到，求出DF的長度，即可得到.

解：（1）與△ACD相似的三角形有：△ABE、△ADC，理由如下：

∵AB2 =BE · DC ，

∴．

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，，

∴△ABE∽△DCA．

∴∠AED=∠DAC．

∵∠AED=∠C+∠EAC，∠DAC=∠DAE+∠EAC，

∴∠DAE=∠C．

∴△ADE∽△CDA ．

（2）∵△ADE∽△CDA，DF平分∠ADC，

∴，

設CE=a，則DE=3CE=3a，CD=4a，

∴ ，解得（負值已舍）

∴；

（3）∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠B=∠C=45° ，

∴∠DAE=∠C=45°，

∵DG⊥AE，

∴∠DAG=∠ADF=45°，

∴AG=DG=，

∴，

∵∠AED=∠DAC ，

∴△ADE∽△DFA，

∴，

∴，

∴.