【題目】如圖,把兩個全等的矩形和矩形拼成如圖所示的圖案,連接交于點,將繞點逆時針旋轉(zhuǎn),點的運動軌跡交于點,若,有以下四個結(jié)論:①;②;③;④陰影部分的面積為.其中一定成立的是______.(把所有正確結(jié)論的序號填在橫線上)
【答案】①③④
【解析】
根據(jù)四邊形ABCD,EFGC為全等的矩形,得到AB=CE,∠B=∠E=90°,BC=EF,即可得到△ABC≌△CEF,根據(jù)全等的性質(zhì)得到∠ACB=∠CFE,AC=CF,可得同理可證△ABC≌△FGC (SAS) ,可判別②錯誤,利用平行線段成比例可得,可求出MD的長,即可得出,進行判斷③
;利用可計算出陰影部分面積,進行判斷④
證明: (1)∵四邊形ABCD,EFGC為全等的矩形,
∴AB= CE,∠B=∠E= 90°BC= EF
在△ABC和△CEF中,
∴△ABC≌△CEF(SAS) ,
∴∠ACB=∠CFE,AC= CF
∴
故①正確,
∵四邊形ABCD,EF GC為全等的矩形,
∴AB= GF,∠B=∠CGF= 90°BC= CG
在△ABC和△FGC中,
∴△ABC≌△FGC (SAS) ,
故②錯誤,
∵GF//AD
∴
∵CG=4,CD=2
∴GD=2
∴
在Rt△ADM中
故③正確;
∵四邊形ABCD是矩形,
∴AD=BC=4,CD=AB=2,∠BCD=∠ADC=90°,
∴CH=BC=4,CH=2CD.
∴∠DHC=30°,
∴∠DCH=60°.
由勾股定理得DE=
∴
故④正確
故答案為:①③④
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【題目】如圖①,在四邊形中,于點,,點為中點,為線段上的點,且.
(1)求證:平分;
(2)若,連接,當(dāng)四邊形為平行四邊形時,求線段的長;
(3)若點為的中點,連接、(如圖②),求證:.
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【題目】如圖,直線AB與反比例函數(shù)的圖象交于點A已知點,點C是反比例函數(shù)的圖象上的一個動點過點C作x軸的垂線,交直線AB于點D.
(1)求k的值.
(2)若,求的面積.
(3)在點C運動的過程中,是否存在點C,使?若存在,請求出點C的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】隨著地鐵和共享單車的發(fā)展,“地鐵+單車”已成為很多市民出行的選擇.李華從文化宮站出發(fā),先乘坐地鐵,準備在離家較近的A,B,C,D,E中的某一站出地鐵,再騎共享單車回家.設(shè)他出地鐵的站點與文化宮距離為x(單位:千米),乘坐地鐵的時間y1(單位:分鐘)是關(guān)于x的一次函數(shù),其關(guān)系如下表:
地鐵站 | A | B | C | D | E |
x(千米) | 8 | 9 | 10 | 11.5 | 13 |
y1(分鐘) | 18 | 20 | 22 | 25 | 28 |
(1)求y1關(guān)于x的函數(shù)表達式;
(2)李華騎單車的時間y2(單位:分鐘)也受x的影響,其關(guān)系可以用y2=x2-11x+78來描述,請問:李華應(yīng)選擇在哪一站出地鐵,才能使他從文化宮回到家所需的時間最短?并求出最短時間.
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【題目】如圖,已知正方形ABCD,E是AB延長線上一點,F是DC延長線上一點,且滿足BF=EF,將線段EF繞點F順時針旋轉(zhuǎn)90°得FG,過點B作FG的平行線,交DA的延長線于點N,連接NG.
求證:BE=2CF;
試猜想四邊形BFGN是什么特殊的四邊形,并對你的猜想加以證明.
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【題目】如圖①,已知拋物線與軸交于、兩點,與軸交于點,已知點為拋物線第一象限上一動點,連接、、.
(1)求拋物線的解析式,并直接寫出拋物線的頂點坐標;
(2)當(dāng)的面積最大時,求出點的坐標;
(3)如圖②,當(dāng)點與拋物線頂點重合時,過點的直線與拋物線交于點,在直線上方的拋物線上是否存在一點,使得?若存在,求出點的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,已知矩形ABCD的兩條邊AB=1,AD=,以B為旋轉(zhuǎn)中心,將對角線BD順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BE,再以C為圓心將線段CD順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CF,連接EF,則圖中陰影部分面積為_____.
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【題目】如圖,△ABC內(nèi)接與⊙O,AB是直徑,⊙O的切線PC交BA的延長線于點P,OF∥BC交AC于AC點E,交PC于點F,連接AF.
(1)判斷AF與⊙O的位置關(guān)系并說明理由;
(2)若⊙O的半徑為4,AF=3,求AC的長.
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【題目】已知四邊形ABCD中,E,F分別是AB,AD邊上的點,DE與CF交于點G.
(1)如圖①,若四邊形ABCD是矩形,且DE⊥CF,求證: ;
(2)如圖②,若四邊形ABCD是平行四邊形,試探究:當(dāng)∠B與∠EGC滿足什么關(guān)系時,使得成立?并證明你的結(jié)論.
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