Question

【題目】如圖①，在正方形ABCD中，F是對角線AC上的一點，點E在BC的延長線上，且BF=EF．
（1）求證：BF=DF；
（2）求證：∠DFE=90°；
（3）如果把正方形ABCD改為菱形，其他條件不變（如圖②），當∠ABC=50°時，∠DFE=度．

Answer 1

【答案】
（1）證明：在正方形ABCD中，BC=DC，∠BCF=∠DCF=45°，

∵在△BCF和△DCF中，

，

∴△BCF≌△DCF（SAS）；

∴BF=DF

（2）證明：∵BF=EF，

∴∠FBE=∠FEB，

又∵∠FBE=∠FDC，

∴∠FEB=∠FDC，

又∵∠DGF=∠EGC，

∴∠DFG=∠ECG=90°，

即∠DFE=90°

（3）50
【解析】（3）證明：由（1）知，△BCF≌△DCF， ∴∠CBF=∠CDF，
∵EE=FB，
∴∠CBF=∠E，
∵∠DGF=∠EGC（對頂角相等），
∴180°﹣∠DGF﹣∠CDF=180°﹣∠EGC﹣∠E，
即∠DFE=∠DCE，
∵AB∥CD，
∴∠DCE=∠ABC，
∴∠DFE=∠ABC=50°，
所以答案是：50．
【考點精析】利用菱形的性質和正方形的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半；正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形．