Question

【題目】直線與x、y軸分別交于點A、C．拋物線的圖象經過A、C和點B（1，0）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在直線AC上方的拋物線上有一動點D，當D與直線AC的距離DE最大時，求出點D的坐標，并求出最大距離是多少？

Answer 1

【答案】詳見解析

【解析】

（1）首先求出點A，點C的坐標；然后利用待定系數法求出拋物線的解析式。

（2）AC為定值，當DE最大時，△ACD的面積最大，因此只需要求出△ACD面積的最大值即可。如圖所示，作輔助線，利用S△ACD=S梯形AGFC﹣S△CDF﹣S△ADG求出S△ACD的表達式，然后利用二次函數的性質求出最大值，并進而求出點D的坐標和DE的最大值。

解：（1）在直線解析式中，令x=0，得y=﹣2；令y=0，得x=4，

∴A（4，0），C（0，﹣2）。

設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，

∵點A（4，0），B（1，0），C（0，﹣2）在拋物線上，

∴，解得。

∴拋物線的解析式為：。

（2）設點D坐標為（x，y），。

在Rt△AOC中，OA=4，OC=2，由勾股定理得：AC=。

如圖，連接CD、AD，過點D作DF⊥y軸于點F，過點A作AG⊥FD交FD的延長線于點G，

則FD=x，DG=4﹣x，OF=AG=y，FC=y+2。

S△ACD=S梯形AGFC﹣S△CDF﹣S△ADG

=（AG+FC）FG﹣FCFD﹣DGAG

=（y+y+2）×4﹣（y+2）x﹣（4﹣x）y

=2y﹣x﹣4

將代入得：S△ACD=2y﹣x﹣4=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4。

∴當x=2時，△ACD的面積最大，最大值為4。

當x=2時，y=1，∴D（2，1）。

∵S△ACD=ACDE，AC=，

∴當△ACD的面積最大時，高DE最大，

則DE的最大值為：。

∴當D與直線AC的距離DE最大時，點D的坐標為（2，1），最大距離為。