Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2-2ax+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（0，-），且與x軸交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，若tanACO=．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）若拋物線的頂點(diǎn)為M，點(diǎn)P是線段OB上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），MPQ=45，射線PQ與線段BM交于點(diǎn)Q，當(dāng)△MPQ為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=x2-x-（2）當(dāng)△MPQ為等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，0)或(3-,0).

【解析】

（1）根據(jù)拋物線y=ax2-2ax+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（0，-），求出b=-，再根據(jù)tan∠ACO=，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可得出此拋物線的解析式；

（2）由y=x2-x-=(x-1)2-2，可得M(-1,-2)，令y=x2-x-=0，得x1=-1,x2=3，從而可得B(3,0)，如圖，作MH⊥OB于點(diǎn)H，則MH=BH=2，可推導(dǎo)得出△MPQ∽△MBP，從而可得當(dāng)△MPQ為等腰三角形時(shí)，△MBP也為等腰三角形，然后分情況進(jìn)行討論即可得.

（1）∵C（0，），∴OC=.

∵tanACO=，∴OA=1.∴A(-1，0).

∵點(diǎn)A,C在拋物線y=ax2-2ax+b上，

∴，解得，

∴此拋物線的解析式為y=x2-x-；

（2）∵y=x2-x-=(x-1)2-2，∴M(-1,-2)，

令y=x2-x-=0，得x1=-1,x2=3，∴B(3,0)，

如圖，作MH⊥OB于點(diǎn)H，則MH=BH=2，

∴∠MBO=45=∠MBP，

又∵∠PMQ=∠BMP，∴△MPQ∽△MBP，

∴當(dāng)△MPQ為等腰三角形時(shí)，△MBP也為等腰三角形，

①當(dāng)MQ=PQ時(shí)，PM=BP，∠BMP=∠MBP=45，∠MPB=90，

∴點(diǎn)P與點(diǎn)H重合，即P(1，0)；

②當(dāng)MQ=MP時(shí)，MP=MB，∠MPB=45，∠BMP=90，

∴PH=BH=2，即P(-1，0)（舍去）；

③當(dāng)MP=PQ時(shí)，BP=BM=，

∴P(3-,0)，

綜上所述，當(dāng)△MPQ為等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，0)或(3-,0).