Question

【題目】如圖1，已知⊙O外一點(diǎn)P向⊙O作切線PA，點(diǎn)A為切點(diǎn)，連接PO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)B，連接AO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作，分別交PB于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)D，連接AD．

（1）求證：△APO～△DCA；

（2）如圖2，當(dāng)時(shí)

①求的度數(shù)；

②連接AB，在⊙O上是否存在點(diǎn)Q使得四邊形APQB是菱形．若存在，請(qǐng)直接寫出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①；②存在，.

【解析】

（1）由切線性質(zhì)和直徑AC可得，由可得，即可得：；

（2）①連接OD，由可得△OAD是等邊三角形，由此可得，；

②作交⊙O于Q，可證ABQP為菱形，求可轉(zhuǎn)化為求．

（1）∵PA切⊙O于點(diǎn)A，AC是⊙O的直徑，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

（2）如圖2，連接OD，

①∵ ，，

∴△是等邊三角形，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

②存在．如圖2，過點(diǎn)B作交⊙O于Q，連接PQ，BC，CQ，

由①得：，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴

∴

∵

∴，

∴，

∵，

∴，

∴四邊形ABQP是平行四邊形，

∵，

∴四邊形ABQP是菱形，

∴

∴，