Question

21、如圖平行四邊形ABCD中，AC、BD交于O，EF是過O的直線，分別交CD、AB于E、F，且EF⊥AC．
（1）求證：OE=OF；
（2）試判斷四邊形AFCE的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）要證明OE=OF，就要證明三角形DEO和OFB全等，這兩個三角形中已知的條件有OD=OB，一組對頂角，只要再得出一組對應(yīng)角相等即可得出全等的結(jié)論．根據(jù)CD∥AB，我們可得到∠EDO=∠FBO，因此就構(gòu)成了兩三角形全等的條件（ASA）．

（2）應(yīng)該是菱形，可通過證明它的對角線互相垂直平分來得出結(jié)論．由（1）的OE=OF，又知道AO=OC，那么四邊形AFCE的對角線互相平分，又已知了EF⊥AC，因此四邊形AFCE的對角線互相垂直平分，因此是菱形．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC交BD于D，
∴AB∥CD，AO=OC，
∴∠OAF=∠OCE．
∵∠AOF=∠COE，
∴△AOF≌△COE，
∴OE=OF．

（2）四邊形AFCE是菱形．
∵OE=OF，OA=OC，
∴四邊形AFCE是平行四邊形，
∵EF⊥AC，
∴平行四邊形AFCE是菱形．

點評：本題考查了全等三角形的判定，平行四邊形的性質(zhì)和菱形的判定等知識點，通過全等三角形得出簡單的線段相等是解題的關(guān)鍵．