Question

【題目】如圖所示，在平面直角坐標系中xOy中，拋物線y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），經(jīng)過點A的直線l：y=kx+b與y軸負半軸交于點C，與拋物線的另一個交點為D，且CD=4AC．

（1）求A、B兩點的坐標及拋物線的對稱軸；
（2）求直線l的函數(shù)表達式（其中k、b用含a的式子表示）；
（3）點E是直線l上方的拋物線上的動點，若△ACE的面積的最大值為 ，求a的值；
（4）設(shè)P是拋物線對稱軸上的一點，點Q在拋物線上，以點A、D、P、Q為頂點的四邊形能否成為矩形？若能，求出點P的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當y=0時，ax2﹣2ax﹣3a=0，

解得：x1=﹣1，x2=3，

∴A（﹣1，0），B（3，0），

對稱軸為直線x= =1

（2）

解：∵直線l：y=kx+b過A（﹣1，0），

∴0=﹣k+b，

即k=b，

∴直線l：y=kx+k，

∵拋物線與直線l交于點A，D，

∴ax2﹣2ax﹣3a=kx+k，

即ax2﹣（2a+k）x﹣3a﹣k=0，

∵CD=4AC，

∴點D的橫坐標為4，

∴﹣3﹣ =﹣1×4，

∴k=a，

∴直線l的函數(shù)表達式為y=ax+a

（3）

解：過E作EF∥y軸交直線l于F，設(shè)E（x，ax2﹣2ax﹣3a），

則F（x，ax+a），EF=ax2﹣2ax﹣3a﹣ax﹣a=ax2﹣3ax﹣4a，

∴S△ACE=S△AFE﹣S△CEF= （ax2﹣3ax﹣4a）（x+1）﹣ （ax2﹣3ax﹣4a）x= （ax2﹣3ax﹣4a）= a（x﹣ ）2﹣ a，

∴△ACE的面積的最大值=﹣ a，

∵△ACE的面積的最大值為 ，

∴﹣ a= ，

解得a=﹣ ；

（4）

解：以點A、D、P、Q為頂點的四邊形能成為矩形，

令ax2﹣2ax﹣3a=ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a=0，

解得：x1=1，x2=4，

∴D（4，5a），

∵拋物線的對稱軸為直線x=1，

設(shè)P（1，m），

①若AD是矩形ADPQ的一條邊，

則易得Q（﹣4，21a），

m=21a+5a=26a，則P（1，26a），

∵四邊形ADPQ是矩形，

∴∠ADP=90°，

∴AD2+PD2=AP2，

∴52+（5a）2+32+（26﹣5a）2=22+（26a）2，

即a2= ，

∵a＜0，

∴a=﹣ ，

∴P（1，﹣ ）；

②若AD是矩形APDQ的對角線，

則易得Q（2，﹣3a），

m=5a﹣（﹣3a）=8a，則P（1，8a），

∵四邊形APDQ是矩形，

∴∠APD=90°，

∴AP2+PD2=AD2，

∴（﹣1﹣1）2+（8a）2+（1﹣4）+（8a﹣5a）2=52+（5a）2，

即a2= ，

∵a＜0，

∴a=﹣ ，

∴P（1，﹣4），

綜上所述，點A、D、P、Q為頂點的四邊形能成為矩形，點P（1，﹣ ）或（1，﹣4）．

【解析】（1）解方程即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)直線l：y=kx+b過A（﹣1，0），得到直線l：y=kx+k，解方程得到點D的橫坐標為4，求得k=a，得到直線l的函數(shù)表達式為y=ax+a；（3）過E作EF∥y軸交直線l于F，設(shè)E（x，ax2﹣2ax﹣3a），得到F（x，ax+a），求出EF=ax2﹣3ax﹣4a，根據(jù)三角形的面積公式列方程即可得到結(jié)論；（4）令ax2﹣2ax﹣3a=ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a=0，得到D（4，5a），設(shè)P（1，m），①若AD是矩形ADPQ的一條邊，②若AD是矩形APDQ的對角線，列方程即可得到結(jié)論．