【題目】如圖,正方形ABCD中,直線a經過點A,且BEaE,DFaF

1)當直線a繞點A旋轉到圖1的位置時,求證:①△ABE≌△DAF;②EFBE+DF;

2)當直線a繞點A旋轉到圖2的位置時,試探究EF、BE、DF具有怎樣的等量關系?請寫出這個等量關系,并加以證明;

3)當直線a繞點A旋轉到圖3的位置時,試問DF、EF、BE具有怎樣的等量關系?請寫出這個等量關系,不證明.

【答案】1)①見解析;②見解析;(2EFDFBE,理由見解析;(3EFBEDF理由見解析

【解析】

1由正方形的性質得出ABAD,∠BAD90°,證出∠ABE=∠DAF,由ASA證明△ABE≌△DAF即可;

由全等三角形的性質得出BEAF,AEDF,即可得出結論;

2)由正方形的性質得出ABAD,∠BAD90°,證出∠ABE=∠DAF,由ASA證明△ABE≌△DAF,得出BEAF,AEDF,即可得出結論;

3)由正方形的性質得出ABAD,∠BAD90°,證出∠ABE=∠DAF,由ASA證明△ABE≌△DAF,得出BEAFAEDF,即可得出結論.

1)證明:①∵四邊形ABCD是正方形,

ABAD,∠BAD90°

∴∠BAE+DAF90°,

又∵BEa,DFa

∴∠AEB=∠DFA90°

∴∠BAE+ABE90°,

∴∠ABE=∠DAF

ABEDAF中,

,

∴△ABE≌△DAFAAS).

②∵△ABE≌△DAF,

BEAFAEDF,

EFAF+AE,

EFBE+DF

2)解:EFDFBE,理由如下:

∵四邊形ABCD是正方形

ABAD,∠BAD90°,∴∠BAE+DAF90°,

又∵BEa,DFa

∴∠AEB=∠DFA90°,

∴∠BAE+ABE90°,

∴∠ABE=∠DAF,在ABEDAF中,

∴△ABE≌△DAFAAS).

AEDF,BEAF,

又∵EFAEAF,

EFDFBE

3)解:EFBEDF;理由如下:

同(2)得:ABE≌△DAFAAS).

AEDF,BEAF

又∵EFAFAE,

EFBEDF

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