Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，直線a經過點A，且BE⊥a于E，DF⊥a于F．

（1）當直線a繞點A旋轉到圖1的位置時，求證：①△ABE≌△DAF；②EF＝BE+DF；

（2）當直線a繞點A旋轉到圖2的位置時，試探究EF、BE、DF具有怎樣的等量關系？請寫出這個等量關系，并加以證明；

（3）當直線a繞點A旋轉到圖3的位置時，試問DF、EF、BE具有怎樣的等量關系？請寫出這個等量關系，不證明．

Answer 1

【答案】（1）①見解析；②見解析；（2）EF＝DF﹣BE，理由見解析；（3）EF＝BE﹣DF，理由見解析

【解析】

（1）①由正方形的性質得出AB＝AD，∠BAD＝90°，證出∠ABE＝∠DAF，由ASA證明△ABE≌△DAF即可；

②由全等三角形的性質得出BE＝AF，AE＝DF，即可得出結論；

（2）由正方形的性質得出AB＝AD，∠BAD＝90°，證出∠ABE＝∠DAF，由ASA證明△ABE≌△DAF，得出BE＝AF，AE＝DF，即可得出結論；

（3）由正方形的性質得出AB＝AD，∠BAD＝90°，證出∠ABE＝∠DAF，由ASA證明△ABE≌△DAF，得出BE＝AF，AE＝DF，即可得出結論．

（1）證明：①∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝AD，∠BAD＝90°．

∴∠BAE+∠DAF＝90°，

又∵BE⊥a，DF⊥a，

∴∠AEB＝∠DFA＝90°，

∴∠BAE+∠ABE＝90°，

∴∠ABE＝∠DAF，

在△ABE和△DAF中，

，

∴△ABE≌△DAF（AAS）．

②∵△ABE≌△DAF，

∴BE＝AF，AE＝DF，

∵EF＝AF+AE，

∴EF＝BE+DF；

（2）解：EF＝DF﹣BE，理由如下：

∵四邊形ABCD是正方形

∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∴∠BAE+∠DAF＝90°，

又∵BE⊥a，DF⊥a，

∴∠AEB＝∠DFA＝90°，

∴∠BAE+∠ABE＝90°，

∴∠ABE＝∠DAF，在△ABE和△DAF中，

，

∴△ABE≌△DAF（AAS）．

∴AE＝DF，BE＝AF，

又∵EF＝AE﹣AF，

∴EF＝DF﹣BE；

（3）解：EF＝BE﹣DF；理由如下：

同（2）得：△ABE≌△DAF（AAS）．

∴AE＝DF，BE＝AF，

又∵EF＝AF﹣AE，

∴EF＝BE﹣DF．