【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,C為⊙O上一點(diǎn),AD和過(guò)C點(diǎn)的切線互相垂直,垂足為D.
(1)求證:AC平分∠DAB;
(2)過(guò)點(diǎn)O作線段AC的垂線OE,垂足為E(要求:尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫(xiě)作法);
(3)若CD=4,AC=4,求垂線段OE的長(zhǎng).
【答案】(1)(2)見(jiàn)解析;(3)
【解析】試題分析:(1)連接OC,由CD為圓O的切線,根據(jù)切線性質(zhì)得到OC與CD垂直,又AD與CD垂直,根據(jù)平面上垂直于同一條直線的兩直線平行得到AD與OC平行,由平行得一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等,又因?yàn)閮砂霃?/span>OA與OC相等,根據(jù)等邊對(duì)等角,得到一對(duì)相等的角,利用等量代換,即可得到∠DAC=∠OAC,即AC為∠DAB的平分線;
(2)以O為圓心,以大于O到AC的距離為半徑畫(huà)弧,與AC交于兩點(diǎn),分別以這兩點(diǎn)為圓心,以大于這兩點(diǎn)之間距離的一半長(zhǎng)為半徑在AC的另一側(cè)畫(huà)弧,兩弧交于一點(diǎn),經(jīng)過(guò)此點(diǎn)與點(diǎn)O確定一條直線,即為所求的直線,如圖所示;
(3)在直角三角形ACD中,由CD和AC的長(zhǎng),利用勾股定理求出AD的長(zhǎng),再根據(jù)垂徑定理,由OE與AC 垂直,得到E為AC中點(diǎn),求出AE的長(zhǎng),由(1)推出的角平分線得一對(duì)角相等,再由一對(duì)直角相等,根據(jù)兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似,由相似得比例即可求出OE的長(zhǎng).
試題解析:(1)證明:連接OC.∵CD切⊙O于點(diǎn)C,∴OC⊥CD.又∵AD⊥CD,∴OC∥AD,∴∠OCA=∠DAC.∵OC=OA,∴∠OCA=∠OAC,∴∠OAC=∠DAC,∴AC平分∠DAB;
(2)解:點(diǎn)O作線段AC的垂線OE如圖所示:
∴直線OE所求的直線;
(3)解:在Rt△ACD中,CD=4,AC=4,∴AD===8.∵OE⊥AC,∴AE=AC=2.∵∠OAE=∠CAD,∠AEO=∠ADC,∴△AEO∽△ADC,∴=,∴OE=×CD=×4=.即垂線段OE的長(zhǎng)為.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】計(jì)算題
(1)30-(-12)-(-25)-18+(-10)
(2) (-+-).
(3)-52÷(-3)2×(-5)3÷[-(-5)2]
(4)(-2+3)-(2-)+6
(5)-[(-)+4]-
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在下列生活、生產(chǎn)現(xiàn)象中,可以用基本事實(shí)“兩點(diǎn)確定一條直線”來(lái)解釋的是( )
①用兩顆釘子就可以把木條固定在墻上;②把筆尖看成一個(gè)點(diǎn),當(dāng)這個(gè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)便得到一條線;③把彎曲的公路改直,就能縮短路程;④植樹(shù)時(shí),只要栽下兩棵樹(shù),就可以把同一行樹(shù)栽在同一條直線上.
A. B. C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若,則以下四個(gè)結(jié)論中,正確的是( )
A.一定是正數(shù)B.可能是負(fù)數(shù)
C.一定是正數(shù)D.一定是正數(shù)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2013年6月,某中學(xué)結(jié)合廣西中小學(xué)閱讀素養(yǎng)評(píng)估活動(dòng),以“我最喜愛(ài)的書(shū)籍”為主題,對(duì)學(xué)生最喜愛(ài)的一種書(shū)籍類型進(jìn)行隨機(jī)抽樣調(diào)查,收集整理數(shù)據(jù)后,繪制出以下兩幅未完成的統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)根據(jù)圖1和圖2提供的信息,解答下列問(wèn)題:
(1)在這次抽樣調(diào)查中,一共調(diào)查了多少名學(xué)生?
(2)請(qǐng)把折線統(tǒng)計(jì)圖(圖1)補(bǔ)充完整;
(3)求出扇形統(tǒng)計(jì)圖(圖2)中,體育部分所對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù);
(4)如果這所中學(xué)共有學(xué)生1800名,那么請(qǐng)你估計(jì)最喜愛(ài)科普類書(shū)籍的學(xué)生人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖(1),在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(﹣1,0),(3,0),將線段AB先向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度,再向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,得到線段CD,連接AC,BD,構(gòu)成平行四邊形ABDC.
(1)請(qǐng)寫(xiě)出點(diǎn)C的坐標(biāo)為 ,點(diǎn)D的坐標(biāo)為 ,S四邊形ABDC ;
(2)點(diǎn)Q在y軸上,且S△QAB=S四邊形ABDC,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);
(3)如圖(2),點(diǎn)P是線段BD上任意一個(gè)點(diǎn)(不與B、D重合),連接PC、PO,試探索∠DCP、∠CPO、∠BOP之間的關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+bx+1交y軸于點(diǎn)A,交x軸正半軸于點(diǎn)B(4,0) ,與過(guò)A點(diǎn)的直線相交于另一點(diǎn)D(3,) ,過(guò)點(diǎn)D作DC⊥x軸,垂足為C.
(1)求拋物線的表達(dá)式;
(2)點(diǎn)P在線段OC上(不與點(diǎn)O,C重合),過(guò)P作PN⊥x軸,交直線AD于M,交拋物線于點(diǎn)N,連接CM,求△PCM 面積的最大值;
(3)若P 是x 軸正半軸上的一動(dòng)點(diǎn),設(shè)OP 的長(zhǎng)為t.是否存在t,使以點(diǎn)M,C,D,N 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,求出t的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD中,直線a經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,且BE⊥a于E,DF⊥a于F.
(1)當(dāng)直線a繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí),求證:①△ABE≌△DAF;②EF=BE+DF;
(2)當(dāng)直線a繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí),試探究EF、BE、DF具有怎樣的等量關(guān)系?請(qǐng)寫(xiě)出這個(gè)等量關(guān)系,并加以證明;
(3)當(dāng)直線a繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí),試問(wèn)DF、EF、BE具有怎樣的等量關(guān)系?請(qǐng)寫(xiě)出這個(gè)等量關(guān)系,不證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:正方形ABCD,等腰直角三角板的直角頂點(diǎn)落在正方形的頂點(diǎn)D處,使三角板繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn).
(1)當(dāng)三角板旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí),猜想CE與AF的數(shù)量關(guān)系,并加以證明;
(2)在(1)的條件下,若DE:AE:CE= 1: :3,求∠AED的度數(shù);
(3)若BC= 4,點(diǎn)M是邊AB的中點(diǎn),連結(jié)DM,DM與AC交于點(diǎn)O,當(dāng)三角板的一邊DF與邊DM重合時(shí)(如圖2),若OF=,求CN的長(zhǎng).
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