【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)C(0,4),點(diǎn)A、B在x軸上,并且OA=OC=4OB,動(dòng)點(diǎn)P在過A、B、C三點(diǎn)的拋物線上.
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)在直線AC上方的拋物線上,是否存在點(diǎn)P,使得△PAC的面積最大?若存在,求出P點(diǎn)坐標(biāo)及ΔPAC面積的最大值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
(3)在x軸上是否存在點(diǎn)Q,使得△ACQ是等腰三角形?若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)y=x2+3x+4;(2)存在, 當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為(2,6)時(shí),ΔPAC面積的最大值是8;(3)Q(0,0),(-4,0),.
【解析】試題分析:(1)根據(jù)點(diǎn)C的坐標(biāo),即可求得OC的長,再求得點(diǎn)A、B的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式;(2)存在,作PN⊥x軸交AC于N,先求得直線AC的解析式,設(shè)P(x,x2+3x+4),則N(x,-x+4),即可得PN=x2+4x ,根據(jù)三角形的面積公式可得S△PAC=PN×4=-2(x-2)2+8 ,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)x=2時(shí),ΔPAC面積的最大值為8,再求得點(diǎn)P的坐標(biāo)即可;(3)根據(jù)勾股定理求得AC=4,以A為頂點(diǎn),以AC為腰時(shí),可得AQ=4,此時(shí)可得Q的坐標(biāo)為(4+4,0)、(4-4,0);以C為頂點(diǎn),以AC為腰時(shí),AC=AQ,因OC垂直于x軸,可得OA=OQ,此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(-4,0);以O為頂點(diǎn),以AC為底邊時(shí),此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(0,0),所以符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為:(0,0),(-4,0),.
試題解析:
(1)∵C(0,4),∴OC=4.
∵OA=OC=4OB,∴OA=4,OB=1,
∴A(4,0),B(1,0),
設(shè)拋物線解析式:y=a(x+1)(x4),
∴4=4a,∴a=1.
∴y=x2+3x+4.
(2)存在.
作PN⊥x軸交AC于N,求得AC的解析式為y=-x+4 ,
設(shè)P(x,x2+3x+4),則N(x,-x+4),
得PN=(x2+3x+4)-(-x+4)=x2+4x ,
∴S△PAC=PN×4=2PN=2(x2+4x)=-2(x-2)2+8 ,
當(dāng)x=2時(shí),ΔPAC面積的最大值為8,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,6).
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(2,6)時(shí),ΔPAC面積有最大值,最大面積是8 .
(3) 根據(jù)勾股定理求得AC=4,分三種情況:
①以A為頂點(diǎn),以AC為腰時(shí),可得AQ=4,此時(shí)可得Q的坐標(biāo)為(4+4,0)、(4-4,0);
②以C為頂點(diǎn),以AC為腰時(shí),AC=AQ,因OC垂直于x軸,可得OA=OQ,此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(-4,0);
③以O為頂點(diǎn),以AC為底邊時(shí),此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(0,0),
綜上,符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為:(0,0),(-4,0),.
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【題目】如圖,將長方形紙片ABCD折疊,使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合,點(diǎn)C落在點(diǎn)C'處,折痕為EF,若∠ABE=25°,則∠EFC'的度數(shù)為( 。
A.122.5°B.130°C.135°D.140°
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(1)請(qǐng)寫出△ABC各點(diǎn)的坐標(biāo).
(2)求出△ABC的面積.
(3)若把△ABC向上平移2個(gè)單位,再向右平移2個(gè)單位得到△A′B′C′,請(qǐng)?jiān)趫D中畫出△A′B′C′,并寫出點(diǎn)A′、B′、C′的坐標(biāo).
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【題目】如圖,在一次空中搜尋中,水平飛行的飛機(jī)觀測到在點(diǎn)A俯角為30°方向的F點(diǎn)處有疑似飛機(jī)殘骸的物體(該物體視為靜止).為了便于觀察,飛機(jī)繼續(xù)向前飛行了800米到達(dá)B點(diǎn),此時(shí)測得點(diǎn)F在點(diǎn)B俯角為60°的方向上,請(qǐng)你計(jì)算當(dāng)飛機(jī)飛臨F的正上方點(diǎn)C時(shí)(點(diǎn)A、B、C在同一直線上),豎直高度CF約為多少米?(結(jié)果保留整數(shù),參考數(shù)值:≈1.7)
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【題目】某工藝廠計(jì)劃一周生產(chǎn)工藝品2100個(gè),平均每天生產(chǎn)300個(gè),但實(shí)際每天生產(chǎn)量與計(jì)劃相比有出入.下表是某周的生產(chǎn)情況(超產(chǎn)記為正、減產(chǎn)記為負(fù)):
(1)寫出該廠星期一生產(chǎn)工藝品的數(shù)量;
(2)本周產(chǎn)量最多的一天比最少的一天多生產(chǎn)多少個(gè)工藝品?
(3)請(qǐng)求出該工藝廠在本周實(shí)際生產(chǎn)工藝品的數(shù)量;
(4)已知該廠實(shí)行每周計(jì)件工資制,每生產(chǎn)一個(gè)工藝品可得60元,若超額完成任務(wù),則超過部分每個(gè)另獎(jiǎng)50元,少生產(chǎn)一個(gè)扣80元.試求該工藝廠在這一周應(yīng)付出的工資總額.
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【題目】有一數(shù)值轉(zhuǎn)換器,原理如圖所示,若開始輸入x的值是7,可發(fā)現(xiàn)第1次輸出的結(jié)果是12,第2次輸出的結(jié)果是6,第3次輸出的結(jié)果是______,依次繼續(xù)下去…,第2019輸出的結(jié)果是______.
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【題目】如圖在平面直角坐標(biāo)系xOy中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(3,0)、點(diǎn)B(0,3),頂點(diǎn)為M.
(1)求該二次函數(shù)的解析式;
(2)求∠OBM的正切值.
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【題目】霧霾天氣持續(xù)籠罩我國大部分地區(qū),困擾著廣大市民的生活,口罩市場出現(xiàn)熱銷,小明的爸爸用12000元購進(jìn)甲、乙兩種型號(hào)的口罩在自家商店銷售,銷售完后共獲利2700元,進(jìn)價(jià)和售價(jià)如表:
(1)小明爸爸的商店購進(jìn)甲、乙兩種型號(hào)口罩各多少袋?
(2)該商店第二次以原價(jià)購進(jìn)甲、乙兩種型號(hào)口罩,購進(jìn)甲種型號(hào)口罩袋數(shù)不變,而購進(jìn)乙種型號(hào)口罩袋數(shù)是第一次的2倍,甲種口罩按原售價(jià)出售,而效果更好的乙種口罩打折讓利銷售,若兩種型號(hào)的口罩全部售完,要使第二次銷售活動(dòng)獲利不少于2460元,每袋乙種型號(hào)的口罩最多打幾折?
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【題目】如圖,在ABC中,AB、BC的垂直平分線相交于三角形內(nèi)一點(diǎn)O,下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是( )
A. 點(diǎn)O在AC的垂直平分線上
B. AOB、BOC、COA都是等腰三角形
C. OAB+OBC+OCA=
D. 點(diǎn)O到AB、BC、CA的距離相等
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