Question

【題目】如圖，直線y＝5x＋5交x軸于點A，交y軸于點C，過A，C兩點的二次函數(shù)y＝ax2＋4x＋c的圖象交x軸于另一點B.

(1)求二次函數(shù)的表達式；

(2)連接BC，點N是線段BC上的動點，作ND⊥x軸交二次函數(shù)的圖象于點D，求線段ND長度的最大值；

(3)若點H為二次函數(shù)y＝ax2＋4x＋c圖象的頂點，點M(4，m)是該二次函數(shù)圖象上一點，在x軸，y軸上分別找點F，E，使四邊形HEFM的周長最小，求出點F、E的坐標．

Answer 1

【答案】(1) y＝－x2＋4x＋5；(2);(3) F (，0)，E(0，)．

【解析】

（1）先根據(jù)坐標軸上點的坐標特征由一次函數(shù)的表達式求出A，C兩點的坐標，再根據(jù)待定系數(shù)法可求二次函數(shù)的表達式；
（2）根據(jù)坐標軸上點的坐標特征由二次函數(shù)的表達式求出B點的坐標，根據(jù)待定系數(shù)法可求一次函數(shù)BC的表達式，設ND的長為d，N點的橫坐標為n，則N點的縱坐標為-n+5，D點的坐標為D（n，-n2+4n+5），根據(jù)兩點間的距離公式和二次函數(shù)的最值計算可求線段ND長度的最大值；
（3）由題意可得二次函數(shù)的頂點坐標為H（2，9），點M的坐標為M（4，5），作點H（2，9）關于y軸的對稱點H1，可得點H1的坐標，作點M（4，5）關于x軸的對稱點HM1，可得點M1的坐標連結H1M1分別交x軸于點F，y軸于點E，可得H1M1+HM的長度是四邊形HEFM的最小周長，再根據(jù)待定系數(shù)法可求直線H1M1解析式，根據(jù)坐標軸上點的坐標特征可求點F、E的坐標．

解：(1)∵直線y＝5x＋5交x軸于點A，交y軸于點C，

∴A(－1，0)，C(0，5)，

∵二次函數(shù)y＝ax2＋4x＋c的圖象過A，C兩點，

∴ ，

解得 ，

∴二次函數(shù)的表達式為y＝－x2＋4x＋5；

(2)如解圖①，

第2題解圖①

∵點B是二次函數(shù)的圖象與x軸的交點，

∴由二次函數(shù)的表達式為y＝－x2＋4x＋5得，點B的坐標B(5，0)，

設直線BC解析式為y＝kx＋b，

∵直線BC過點B(5，0)，C(0，5)，

∴ ，

解得 ，

∴直線BC解析式為y＝－x＋5，

設ND的長為d，N點的橫坐標為n，

則N點的坐標為(n，－n＋5)，

D點的坐標為(n，－n2＋4n＋5)，

則d＝|－n2＋4n＋5－(－n＋5)|，

由題意可知：－n2＋4n＋5＞－n＋5，

∴d＝－n2＋4n＋5－(－n＋5)＝－n2＋5n＝－(n－)2＋，

∴當n＝時，線段ND長度的最大值是；

（3）∵點M(4，m)在拋物線y＝－x2＋4x＋5上，

∴m＝5，∴M(4，5)．

∵拋物線y＝－x2＋4x＋5＝－(x－2)2＋9，

∴頂點坐標為H(2，9)，

如解圖②，作點H(2，9)關于y軸的對稱點H1，則點H1的坐標為H1(－2，9)；作點M(4，5)關于x軸的對稱點M1，則點M1的坐標為M1(4，－5)，連接H1M1分別交x軸于點F，y軸于點E，∴H1M1＋HM的長度是四邊形HEFM的最小周長，則點F，E即為所求的點．

設直線H1M1的函數(shù)表達式為y＝mx＋n，

∵直線H1M1過點H1(－2，9)，M1(4，－5)，

∴ ，

解得 ，

∴y＝－x＋，

∴當x＝0時，y＝，即點E坐標為(0，)，

當y＝0時，x＝，即點F坐標為(，0)，

故所求點F，E的坐標分別為(，0)，(0，)．