Question

【題目】如圖，點(diǎn)O在∠APB的平分線上，⊙O與PA相切于點(diǎn)C．

（1）求證：直線PB與⊙O相切；
（2）PO的延長線與⊙O交于點(diǎn)E．若⊙O的半徑為3，PC=4．求弦CE的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OC，作OD⊥PB于D點(diǎn)．

∵⊙O與PA相切于點(diǎn)C，

∴OC⊥PA．

∵點(diǎn)O在∠APB的平分線上，OC⊥PA，OD⊥PB，

∴OD=OC．

∴直線PB與⊙O相切；

（2）解：設(shè)PO交⊙O于F，連接CF．

∵OC=3，PC=4，∴PO=5，PE=8．

∵⊙O與PA相切于點(diǎn)C，

∴∠PCF=∠E．

又∵∠CPF=∠EPC，

∴△PCF∽△PEC，

∴CF：CE=PC：PE=4：8=1：2．

∵EF是直徑，

∴∠ECF=90°．

設(shè)CF=x，則EC=2x．

則x2+（2x）2=62，

解得x= ．

則EC=2x= ．

【解析】（1）連接OC，作OD⊥PB于D點(diǎn)．證明OD=OC即可．根據(jù)角的平分線性質(zhì)易證；（2）設(shè)PO交⊙O于F，連接CF．根據(jù)勾股定理得PO=5，則PE=8．證明△PCF∽△PEC，得CF：CE=PC：PE=1：2．根據(jù)勾股定理求解CE．