(2005•沈陽)如圖,Rt△OAC是一張放在平面直角坐標系中的直角三角形紙片,點O與原點重合,點A在x軸上,點C在y軸上,OC=,∠CAO=30度.將Rt△OAC折疊,使OC邊落在AC邊上,點O與點D重合,折痕為CE.
(1)求折痕CE所在直線的解析式;
(2)求點D的坐標;
(3)設(shè)點M為直線CE上的一點,過點M作AC的平行線,交y軸于點N,是否存在這樣的點M,使得以M、N、D、C為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,請求出符合條件的點M的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】分析:(1)因為∠CAO=30°,由折疊可知∠OCE=∠ECD=∠OCA=30°,
在Rt△COE中,利用三角函數(shù)可求OE=OC•tan∠OCE=×=1,從而可求點E的坐標是(1,0).
因為OC=,所以C(0,).
可設(shè)直線CE的解析式為y=kx+b,將C、E的坐標代入,可得到關(guān)于k、b的方程組,解之即可;
(2)在Rt△AOC中,利用三角函數(shù)可求出AC、AO的值,因為CD=OC=,可求出AD=AC-CD=2-=
要求D的坐標,需過點D作DF⊥OA于點F.
在Rt△AFD中,利用三角函數(shù)可求DF=AD•sin∠CAO=,AF=AD•cos∠CAO=,所以O(shè)F=AO-AF=,從而點D的坐標是(,);
(3)需分情況討論:
第一種情況:若此點在第四象限內(nèi),可設(shè)其為M1,延長DF交直線CE于M1,連接M1O,則有DM1∥y軸.
因為OF=,所以可設(shè)點M1的坐標為(,y1),利用點M1在直線CE上,可得y1的值,即可求出點M1的坐標是(,-),所以有DM1=DF+FM1=+=,OC=,所以DM1=OC.
利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可知四邊形CDM1O為平行四邊形.而點O在y軸上,所以點M1是符合條件的點.
第二種情況:此點在第二象限內(nèi),設(shè)為M2.可過點D作DN∥CE交y軸于N,過N點作NM2∥CD交直線CE于點M2,則四邊形M2NDC為平行四邊形.
利用平行四邊形的對邊分別相等,可知M2N=CD=,
又因M2N∥CD,DN∥CE,所以∠NM2C=∠ACE,∠OCE=∠M2CN,CN=M2N.
又因M2N=CD=,所以CN=
接著可作M2H⊥y軸于點H,利用兩直線平行,內(nèi)錯角相等可得∠M2NC=∠NCD,∴∠M2NH=∠OCA=60°.
在Rt△M2NH中,利用三角函數(shù)可求出M2H,NH的值,利用HO=HN+CN+OC=可得M2(-,).
解答:解:(1)由題意知∠CAO=30°,
∴∠OCE=∠ECD=∠OCA=30°,
∴在Rt△COE中,OE=OC•tan∠OCE=×=1,
∴點E的坐標是(1,0),
設(shè)直線CE的解析式為y=kx+b.
把點C(0,),E(1,0)代入得,

∴直線CE的解析式為y=-x+

(2)在Rt△AOC中,AC==2
AO==3,
∵CD=OC=,
∴AD=AC-CD=2-=
過點D作DF⊥OA于點F,
在Rt△AFD中,DF=AD•sin∠CAO=,
AF=AD•cos∠CAO=,
∴OF=AO-AF=
∴點D的坐標是(,).

(3)存在兩個符合條件的M點,
第一種情況:此點在第四象限內(nèi),設(shè)為M1,延長DF交直線CE于M1
連接M1O,M1O∥AC,
則有DM1∥y軸,
∵OF=,
∴設(shè)點M1的坐標為(,y1),
又∵點M1在直線CE上,
∴將點M1的坐標代入y=-x+中,
得y1=-×+=-,即FM1=
∴點M1的坐標是(,-),
又∵DM1=DF+FM1=+=,OC=,
∴DM1=OC,
又∵DM1∥OC,
∴四邊形CDM1O為平行四邊形,
又∵點O在y軸上,
∴點M1是符合條件的點.
第二種情況:此點在第二象限內(nèi),設(shè)為M2,
過點D作DN∥CE交y軸于N,過N點作NM2∥CD交直線CE于點M2,
則四邊形M2NDC為平行四邊形,
∴M2N=CD=,
∵M2N∥CD,DN∥CE,
∴∠NM2C=∠ACE,∠OCE=∠M2CN,
∴CN=M2N,
∵M2N=CD=,
∴CN=,
作M2H⊥y軸于點H,
∵M2N∥CD,
∴∠M2NC=∠NCD,
∴∠M2NH=∠OCA=60°,
在Rt△M2NH中,
M2H=M2N•sin60°=×=
NH=M2N•cos60°=×=,
∴HO=HN+CN+OC=,
∴M2(-),
∴點M2是符合條件的點,
綜上所述,符合條件的兩個點的坐標分別為M1,-),M2(-).
點評:本題的解決需要綜合運用待定系數(shù)法、三角函數(shù)等知識,另外解決這類問題常用到分類討論、數(shù)形結(jié)合、方程和轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想方法.
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