(2013•湖州模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,如圖1,將若干個(gè)邊長(zhǎng)為 
2
的正方形并排組成矩形OABC,相鄰兩邊OA、OC分別落在y軸的正半軸和x軸的負(fù)半軸上,將這些正方形順時(shí)針繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)135°得到相應(yīng)矩形OA′B′C′,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)過(guò)點(diǎn)O、B′、C′.
(1)如圖2,當(dāng)正方形個(gè)數(shù)為1時(shí),填空:點(diǎn)B′坐標(biāo)為
(2,0)
(2,0)
,點(diǎn)C′坐標(biāo)為
(1,1)
(1,1)
,二次函數(shù)的關(guān)系式為
y=-x2+2x
y=-x2+2x
,此時(shí)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸方程為
直線(xiàn)x=1
直線(xiàn)x=1

(2)如圖3,當(dāng)正方形個(gè)數(shù)為2時(shí),求y=ax2+bx+c(a≠0)圖象的對(duì)稱(chēng)軸;
(3)當(dāng)正方形個(gè)數(shù)為2011時(shí),求y=ax2+bx+c(a≠0)圖象的對(duì)稱(chēng)軸;
(4)當(dāng)正方形個(gè)數(shù)為n個(gè)時(shí),請(qǐng)直接寫(xiě)出:用含n的代數(shù)式來(lái)表示y=ax2+bx+c(a≠0)圖象的對(duì)稱(chēng)軸.
分析:(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)求出對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng),然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)角是135°可知點(diǎn)C′在x軸上,從而求出點(diǎn)B′、C′的坐標(biāo),再利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸公式求解;
(2)先求出點(diǎn)B′、C′的坐標(biāo),再利用待定系數(shù)法求出a、b的關(guān)系,然后利用對(duì)稱(chēng)軸解析式解答;
(3)求出點(diǎn)B′、C′的坐標(biāo),再利用待定系數(shù)法求出a、b的關(guān)系,然后利用對(duì)稱(chēng)軸解析式解答;
(4)根據(jù)(2)與(3)的規(guī)律,求出點(diǎn)B′、C′的坐標(biāo),再利用待定系數(shù)法求出a、b的關(guān)系,然后利用對(duì)稱(chēng)軸解析式解答即可.
解答:解:(1)∵正方形的邊長(zhǎng)為
2

∴對(duì)角線(xiàn)為
2
×
2
=2,
∵旋轉(zhuǎn)角為135°,
∴點(diǎn)B′在x軸上,
∴點(diǎn)B′(2,0),
根據(jù)正方形的性質(zhì),點(diǎn)C′(1,1),
∵拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c(a≠0)過(guò)點(diǎn)O、B′、C′,
4a+2b+c=0
a+b+c=1
c=0
,
解得
a=-1
b=2
,
∴二次函數(shù)關(guān)系式為y=-x2+2x,
對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=-
2
2×(-1)
=1,
即直線(xiàn)x=1;
故答案為:(2,0);(1,1);y=-x2+2x;直線(xiàn)x=1.

(2)正方形個(gè)數(shù)為2時(shí),B′(3,1),C′(2,2),
9a+3b+c=1
4a+2b+c=2
c=0

整理得,7a=-2b,
b
a
=-
7
2

拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=-
b
2a
=-
1
2
×(-
7
2
)=
7
4
;

(3)正方形個(gè)數(shù)為2011時(shí),B′(2012,2010),C′(2011,2011),
20122a+2012b+c=2010
20112a+2011b+c=2011
c=0

整理得,6034a=-2b,
b
a
=-3017,
對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=-
b
2a
=-
1
2
×(-3017)=
3017
2
;

(4)正方形個(gè)數(shù)為n個(gè)時(shí),B′(n+1,n-1),C′(n,n),
(n+1)2a+(n+1)b+c=n-1
n2a+nb+c=n
c=0
,
整理得,(3n+1)a=-2b,
b
a
=-
3n+1
2

對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=-
b
2a
=-
1
2
×(-
3n+1
2
)=
3n+1
4
點(diǎn)評(píng):本題是二次函數(shù)綜合題型,主要考查了正方形的性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),待定系數(shù)法的思想以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,根據(jù)規(guī)律確定出點(diǎn)B′、C′的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵,也是本題的難點(diǎn).
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