Question

【題目】如圖所示是一個紙杯，它的母線延長后形成的立體圖形是圓錐，該圓錐的側(cè)面展開圖是扇形OAB，經(jīng)測量，紙杯開口圓的直徑為6cm，下底面直徑為4cm，母線長EF=9cm，求扇形OAB的圓心角及這個紙杯的表面積．（結(jié)果保留根號和π）

Answer 1

【答案】解：由題意可知： =6πcm， =4π，設∠AOB=n，AO=R，則CO=R﹣9， 由弧長公式得：l= ，
∴ ，
解得：n=40，R=27，
故扇形OAB的圓心角是40度．
∵R=27，R﹣9=18，
∴S扇形OCD= ×4π×18=36π（cm2），
S扇形OAB= ×6π×27=81π（cm2），
紙杯側(cè)面積=S扇形OAB﹣S扇形OCD=81π﹣36π=45π（cm2），
紙杯底面積=π22=4π（cm2）
紙杯表面積=45π+4π=49π（cm2）．
【解析】（1）設∠AOB=n°，AO=R，則CO=R﹣9，利用圓錐的側(cè)面展開圖扇形的弧長等于圓錐底面周長作為相等關系列方程，并聯(lián)立成方程組求解即可（2）求紙杯的側(cè)面積即為扇環(huán)的面積，需要用大扇形的面積減去小扇形的面積．紙杯表面積=S紙杯側(cè)面積+S紙杯底面積 ．
【考點精析】通過靈活運用幾何體的展開圖和扇形面積計算公式，掌握沿多面體的棱將多面體剪開成平面圖形，若干個平面圖形也可以圍成一個多面體；同一個多面體沿不同的棱剪開，得到的平面展開圖是不一樣的，就是說：同一個立體圖形可以有多種不同的展開圖；在圓上，由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形；扇形面積S=π（R2-r2）即可以解答此題．