Question

【題目】如圖，拋物線的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn).

（1）求A、B、C的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)M為線段AB上一點(diǎn)（點(diǎn)M不與點(diǎn)A、B重合），過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線，與直線AC交于點(diǎn)E，與拋物線交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥AB交拋物線于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)Q作QN⊥x軸于點(diǎn)N.若點(diǎn)P在點(diǎn)Q左邊，當(dāng)矩形PQMN的周長(zhǎng)最大時(shí)，求△AEM的面積；

（3）在（2）的條件下，當(dāng)矩形PMNQ的周長(zhǎng)最大時(shí)，連接DQ.過(guò)拋物線上一點(diǎn)F作y軸的平行線，與直線AC交于點(diǎn)G（點(diǎn)G在點(diǎn)F的上方）.若FG=DQ，求點(diǎn)F的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）A（-3，0），B（1，0），C（0，3）； （2）；（3）或（1，0）.

【解析】

試題（1）通過(guò)解析式即可得出C點(diǎn)坐標(biāo)，令y=0，解方程得出方程的解，即可求得A、B的坐標(biāo)；

（2）設(shè)M點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，則PM=，MN=（﹣m﹣1）×2=﹣2m﹣2，矩形PMNQ的周長(zhǎng)d=，將配方，由二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得出m的值，然后求得直線AC的解析式，把x=m代入可以求得三角形的邊長(zhǎng)，從而求得三角形的面積；

（3）設(shè)F（n，），由已知若FG=DQ，即可求得．

試題解析：解：（1）由拋物線可知，C（0，3），令y=0，則，解得x=﹣3或x=1，∴A（﹣3，0），B（1，0）；

（2）由拋物線可知，對(duì)稱(chēng)軸為x=﹣1，設(shè)M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，則PM=，MN=（﹣m﹣1）×2=﹣2m﹣2，∴矩形PMNQ的周長(zhǎng)=2（PM+MN）=（）×2==，∴當(dāng)m=﹣2時(shí)矩形的周長(zhǎng)最大．∵A（﹣3，0），C（0，3），設(shè)直線AC解析式為y=kx+b，解得k=1，b=3，∴解析式y=x+3，當(dāng)x=﹣2時(shí)，則E（﹣2，1），∴EM=1，AM=1，∴S=AMEM=；

（3）∵M(jìn)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣2，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x=﹣1，∴N應(yīng)與原點(diǎn)重合，Q點(diǎn)與C點(diǎn)重合，∴DQ=DC，把x=﹣1代入，解得y=4，∴D（﹣1，4），∴DQ=DC=，∵FG=DQ，∴FG=4，設(shè)F（n，），則G（n，n+3），∵點(diǎn)G在點(diǎn)F的上方，∴=4，解得：n=﹣4或n=1，∴F（﹣4，﹣5）或（1，0）．