Question

如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y=ax²+bx的對稱軸為x=，且經過點A（2，1），點P是拋物線上的動點，P的橫坐標為m（0＜m＜2），過點P作PB⊥x軸，垂足為B，PB交OA于點C，點O關于直線PB的對稱點為D，連接CD，AD，過點A作AE⊥x軸，垂足為E．

（1）求拋物線的解析式；

（2）填空：

①用含m的式子表示點C，D的坐標：

C（　 　，　  　），D（　 　，　 　）；

②當m=　1　時，△ACD的周長最��；

（3）若△ACD為等腰三角形，求出所有符合條件的點P的坐標．

　

 

Answer 1

       解：（1）依題意，得，解得

∴y=x²﹣x

（2）C（m，m），D（2m，0），m=1

（3）依題意，得B（m，0）

在RT△OBC中，OC²=OB²+BC²=m²+=m²，

∴OC=m  又∵O，D關于直線PC對稱，

∴CD=OC=m

在RT△AOE中，OA===

∴AC=OA﹣OC=﹣m

在RT△ADE中，AD²=AE²+DE²=1²+（2﹣2m）²=4m²﹣8m+5

分三種情況討論：

①若AC=CD，即﹣m=m，解得m=1，∴P（1，）

②若AC=AD，則有AC²=AD²，即5﹣5m+m²=4m²﹣8m+5

解得m₁=0，m₂=．∵0＜m＜2，∴m=，∴P（，）

③若DA=DC，則有DA²=DC²，即4m²﹣8m+5=m²

解得m₁=，m₂=2，∵，0＜m＜2，∴m=，∴P（，）

綜上所述，當△ACD為等腰三角形是，點P的坐標分別為P₁（1，），P₂（，），P₃（，）．