Question

【題目】閱讀以下短文，然后解決下列問題：

如果一個(gè)三角形和一個(gè)矩形滿足條件：三角形的一邊與矩形的一邊重合，且三角形的這邊所對(duì)的頂點(diǎn)在矩形這邊的對(duì)邊上，則稱這樣的矩形為三角形的“友好矩形”. 如圖①所示，矩形ABEF即為△ABC的“友好矩形”. 顯然，當(dāng)△ABC是鈍角三角形時(shí)，其“友好矩形”只有一個(gè) .

(1) 仿照以上敘述，說明什么是一個(gè)三角形的“友好平行四邊形”；

(2) 如圖②，若△ABC為直角三角形，且∠C=90°，在圖②中畫出△ABC的所有“友好矩形”，并比較這些矩形面積的大��；

(3) 若△ABC是銳角三角形，且BC>AC>AB，在圖③中畫出△ABC的所有“友好矩形”，指出其中周長(zhǎng)最小的矩形并加以證明.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）詳見解析.

【解析】

（1）類似“友好矩形”的定義，即可寫出“友好平行四邊形”的定義：如果一個(gè)三角形和一個(gè)平行四邊形滿足條件：三角形的一邊與平行四邊形的一邊重合，三角形這邊所對(duì)的頂點(diǎn)在平行四邊形這邊的對(duì)邊上，則稱這樣的平行四邊形為三角形的“友好平行四邊形”；
（2）根據(jù)定義，則分別讓直角三角形的直角邊或斜邊當(dāng)矩形的一邊，過第三個(gè)頂點(diǎn)作它的對(duì)邊，從而畫出矩形．根據(jù)每個(gè)矩形和直角三角形的面積的關(guān)系，比較兩個(gè)矩形的面積大��；
（3）分別以三角形的一邊當(dāng)矩形的另一邊，過第三個(gè)頂點(diǎn)作矩形的對(duì)邊，從而畫出矩形，根據(jù)三角形和矩形的面積公式，可知三個(gè)矩形的面積相等，設(shè)矩形的面積是S，三角形的三條邊分別是a，b，c．根據(jù)矩形的面積由其中一邊表示出矩形的另一邊，進(jìn)一步求得其周長(zhǎng)，運(yùn)用求差法比較它們的周長(zhǎng)的大小．

(1) 如果一個(gè)三角形和一個(gè)平行四邊形滿足條件：三角形的一邊與平行四邊形的一邊重合，三角形這邊所對(duì)的頂點(diǎn)在平行四邊形這邊的對(duì)邊上，則稱這樣的平行四邊形為三角形的“友好平行四邊形”.

(2) 此時(shí)共有2個(gè)友好矩形，如圖的矩形BCAD、矩形ABEF.

易知，矩形BCAD、ABEF的面積都等于△ABC面積的2倍，∴ △ABC的“友好矩形”的面積相等.

(3) 此時(shí)共有3個(gè)友好矩形，如圖的BCDE、CAFG及ABHK，其中的矩形ABHK的周長(zhǎng)最小 .

證明如下：易知，這三個(gè)矩形的面積相等，令其為S. 設(shè)矩形BCDE、CAFG及ABHK的周長(zhǎng)分別為L1，L2，L3，△ABC的邊長(zhǎng)BC=a，CA=b，AB=c，則L1=+2a，L2=+2b，L3=+2c .

∴ L1- L2=(+2a)-(+2b)=2(a-b)，而 ab>S，a>b，

∴ L1- L2>0，即L1> L2 . 同理可得，L2> L3 .

∴ L3最小，即矩形ABHK的周長(zhǎng)最小.