Question

【題目】如圖1，D是BC中點(diǎn)，AD⊥BC，E是BC上除B，D，C外任意一點(diǎn)，根據(jù)“SAS”，可證明，所以AB＝AC，∠B＝∠C．在△ABE和△ACE中，，不能證明，因?yàn)檫@是“SSA”的情形，是鈍角三角形，是銳角三角形，它們不可能全等．如果兩個(gè)三角形都是直角三角形，“SSA”就變成“HL”，就可以用來(lái)證明兩個(gè)三角形全等．同樣，如果我們知道兩個(gè)三角形都是鈍角三角形或銳角三角形，并且它們滿足“SSA”的情形，也是一定能全等的，但必須通過構(gòu)造直角三角形來(lái)間接證明．

問題：已知，如圖2，AD＝AC，，

（1）根據(jù)現(xiàn)有條件直接證明，可以嗎?為什么?

（2）求證：．

Answer 1

【答案】（1）根據(jù)現(xiàn)有條件不能直接證明，理由見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）根據(jù)邊邊角不能證明兩個(gè)三角形全等進(jìn)行解答；

（2）作AN⊥BC交BC延長(zhǎng)線于N，AM⊥BD交BD延長(zhǎng)線于M，可得∠M=∠N=90°，然后利用AAS證明△ACN≌△ADM，得到AN=AM，結(jié)合公共邊AB=AB可利用HL證明Rt△ABN≌Rt△ABM，進(jìn)而得到.

解：（1）根據(jù)現(xiàn)有條件不能直接證明，因?yàn)檫呥吔遣荒茏C明兩個(gè)三角形全等，需要先構(gòu)造直角三角形進(jìn)行證明；

（2）如圖，作AN⊥BC交BC延長(zhǎng)線于N，AM⊥BD交BD延長(zhǎng)線于M，

∴∠M=∠N=90°，

∵，

∴∠ACN=∠ADM，

又∵AD＝AC，

∴△ACN≌△ADM（AAS），

∴AN=AM，

又∵AB=AB，

∴Rt△ABN≌Rt△ABM（HL），

∴.