Question

如圖，在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，∠ACB=90°，P是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A、B不重合），Q是AC邊上的動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A、C不重合）．
（1）當(dāng)PQ∥BC，且Q為AC的中點(diǎn)時(shí)，求線段PQ的長；
（2）若以CQ為直徑作圓D，請問圓D有沒有可能與斜邊AB相切？若相切請求出該圓的半徑；
（3）當(dāng)PQ與BC不平行時(shí)，△CPQ可能為直角三角形嗎？若有可能，請求出線段CQ的長的取值范圍；若不可能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)即可得到PQ的長；
（2）設(shè)圓D與AB相切于M，連接DM，根據(jù)切線的性質(zhì)得到DM⊥AB，易證Rt△ADM∽R(shí)t△ABC，得到=，設(shè)CD=x，則DM=x，AD=6-x，利用相似比可計(jì)算出x；
（3）當(dāng)PQ與BC不平行時(shí)，只有∠CPQ=90°時(shí)，△CPQ才可能為直角三角形．根據(jù)直徑所對的圓周角為直角得到以CQ為直徑的圓與AB的交點(diǎn)為P點(diǎn)，把問題轉(zhuǎn)化為以CQ為直徑的圓與AB的位置關(guān)系．
解答：（1）解：∵PQ∥BC，Q為AC的中點(diǎn)，
∴PQ為三角形ABC的中位線，
∴PQ=BC=4；

（2）以CQ為直徑作圓D，圓D可以與AB相切．
理由如下：設(shè)圓D與AB相切于M．
連接DM，如圖，
∴DM⊥AB，
易證Rt△ADM∽R(shí)t△ABC，
∴=，
設(shè)CD=x，則DM=x，AD=6-x，
而AC=6，BC=8得到AB=10，
∴=，解得x=，
即該圓的半徑為；

（3）當(dāng)PQ與BC不平行時(shí)，只有∠CPQ=90°時(shí)，△CPQ才可能為直角三角形．
①當(dāng)時(shí)，以CQ為直徑的圓〔即（2）中圓D〕與AB相切于M，這時(shí)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)M的位置，△CPQ為直角三角形．
②當(dāng)時(shí)，以CQ為直徑的圓與直線AB有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到這二個(gè)交點(diǎn)的位置時(shí)，△CPQ為直角三角形．
③當(dāng)時(shí)，以CQ為直徑的圓與直線AB相離，沒有交點(diǎn)，即點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)都在圓外，∠CPQ＜90°此時(shí)△CPQ不可能為直角三角形．
∴當(dāng)時(shí)，△CPQ可能為直角三角形．
點(diǎn)評：本題考查了切線的判定與性質(zhì)：過半徑的外端點(diǎn)與半徑垂直的直線是圓的切線；圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑．也考查了圓周角定理的推論以及三角形相似的判定與性質(zhì)．