Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，sinA=．點(diǎn)P、Q分別是AC、BA邊上的動(dòng)點(diǎn)，且AP=BQ=x．
（1）若△APQ的面積是y，試求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）當(dāng)△APQ為等腰三角形時(shí)，求x的值；
（3）如果點(diǎn)R是AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，且CR=AP=BQ=x，那么是否存在這樣的x，使得∠PQR=90°？若存在，求x的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）過點(diǎn)Q作QM⊥AC于M，利用條件sinA=，可得到QM和AQ的關(guān)系，根據(jù)三角形的面積公式可得y=AP•QM=x•（10-x）=-x²+3x，再根據(jù)已知條件求出自變量的取值范圍即可；
（2）本小題要分三種情況：①當(dāng)AP=AQ時(shí)，②當(dāng)AP=PQ時(shí)，③當(dāng)AQ=PQ時(shí)分別討論求出x的值即可；
（3）存在這樣的x，使得∠PQR=90°，過點(diǎn)P作PM⊥AB于M，過點(diǎn)R作RN⊥AB于N，當(dāng)∠PQR=90°時(shí)，∠PQM+∠NQR=90°，再根據(jù)已知條件證明△PQM∽△QRN，由相似三角形的性質(zhì)可得到，因?yàn)镽N=AR=（AC-CR）=（6-x），PM=AP=x，，，所以可得到方程得6x²-49x+90=0，進(jìn)而求出x的值．反之，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)P作PM⊥AB于M過點(diǎn)Q作RN⊥AB于N，由以上思路也可求出x的另外一個(gè)值．
解答：解：（1）過點(diǎn)Q作QM⊥AC于M，
在Rt△AMQ中，∠AMQ=90°，
∵sinA==，
∴QM=AQ=（10-x），
∴y=AP•QM=x•（10-x）=-x²+3x；
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∵sinA=，
∴BC=AB•sinA=10×=6，
∴AC==8，
∴自變量x的取值范圍為：0＜x≤8；

（2）分三種情況：①當(dāng)AP=AQ時(shí)，有x=10-x，
∴x=5；
②當(dāng)AP=PQ時(shí)，過點(diǎn)P作PN⊥AB于N，
在Rt△ANP中，∠ANP=90°，
∴AN=APcosA，
∵sinA=，
∴cosA=，
∵AN=AQ=，
∴，
解得：x=；
③當(dāng)AQ=PQ時(shí)，過點(diǎn)Q作QS⊥AC于S，
在Rt△ASQ中，∠ASQ=90°，
∴AS=AQcosA，
即，
解得；
綜合①、②、③，x=5或或．

（3）存在這樣的x，使得∠PQR=90°，
理由如下：
過點(diǎn)P作PM⊥AB于M，過點(diǎn)Q作RN⊥AB于N，
當(dāng)∠PQR=90°時(shí)，∠PQM+∠NQR=90°，
∵∠RNQ=∠QMP=90°，
∴∠NQR+∠NRQ=90°，
∴∠NRQ=∠MQP，
∴△PQM∽△QRN，
∴，
∵RN=AR=（AC-CR）=（6-x），PM=AP=x，，，
∴，
化簡，得6x²-49x+90=0解得；
反之，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)P作PM⊥AB于M過點(diǎn)Q作RN⊥AB于N
∵，，，．
∴，∴，
又∵∠RNQ=∠QMP=90°，
∴△RNQ∽△QMP，
∴∠QRN=∠MQP，又∠QNR+∠NQR=90°，
∴∠MQP+∠NQR=90°，
∴∠PQR=90°，
同理，當(dāng)時(shí)，可證∠PQR=90°．
綜合以上，當(dāng)時(shí)，∠PQR=90°．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了銳角三角函數(shù)、三角形的面積公式、勾股定理的運(yùn)用、相似三角形的判定和性質(zhì)以及一元二次方程的計(jì)算和分類討論的數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)，題目的綜合性很強(qiáng)，難度很大，對(duì)學(xué)生的綜合解題能力要求相當(dāng)高．