設(shè)直線y=-0.5x+1與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B、A,點(diǎn)C與點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱,以AC為直角邊在第二象限作等腰Rt△ACD,過點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E.若直線y=kx-2k將四邊形OADE分為面積相等的兩部分,則k= .
【答案】
分析:先確定A點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1),B點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-2,0),討論:當(dāng)AC為直角邊,且∠DCA=90°時(shí),根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得CD=CA,∠DCA=90°,
,利用“AAS”可證明△ECD≌△OAC,則DE=OC=2,EC=OA=1,所以D點(diǎn)坐標(biāo)(-3,2),然后確定OA的中點(diǎn)M的坐標(biāo),DE的中點(diǎn)N的坐標(biāo),MN的中點(diǎn)P的坐標(biāo),再P點(diǎn)坐標(biāo)代入y=kx-2k得求出k的值;當(dāng)AC為直角邊,且∠CAD=90°時(shí),如圖2,作DF⊥y軸于F,同樣的方法可確定D點(diǎn)坐標(biāo)(-1,3),然后利用上述方法求對(duì)應(yīng)k的值.
解答:解:把x=0代入y=-0.5x+1得y=1,把y=0代入y=-0.5x+1得-0.5x+1=0,解得x=2,則A點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1),B點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)
∵點(diǎn)C與點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱,
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-2,0),
當(dāng)AC為直角邊,且∠DCA=90°時(shí),如圖1,
M為OA的中點(diǎn),N為DE的中點(diǎn),P為MN的中點(diǎn),則M(0,
)
∵△ACD為等腰直角三角形,
∴CD=CA,∠DCA=90°,
∴∠ECD+∠ACO=90°,
∵DE⊥x軸于點(diǎn)E,
∴∠ECD+∠EDC=90°,
∴∠EDC=∠ACO,
∵在△ECD和△OAC中
,
∴△ECD≌△OAC(AAS),
∴DE=OC=2,EC=OA=1,
∴OE=1+2=3,
∴D點(diǎn)坐標(biāo)(-3,2),
∴N點(diǎn)坐標(biāo)(-3,1),
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(-
,
),
把P(-
,
)代入y=kx-2k得-
k-2k=
,解得k=-
;
當(dāng)AC為直角邊,且∠CAD=90°時(shí),如圖2,作DF⊥y軸于F,同理可證得△FAD≌△OCA,
∴DF=OA=1,AF=OC=2,
∴OF=3,
∴D點(diǎn)坐標(biāo)(-1,3),
∴N點(diǎn)坐標(biāo)(-1,
),
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(-
,
),
把P(-
,
)代入y=kx-2k得-
k-2k=
,解得k=-
;
∴k的值為-
或-
.
故答案為-
或-
.
點(diǎn)評(píng):本題考查了一次函數(shù)的綜合題:一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足其解析式,會(huì)確定一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo);同時(shí)運(yùn)用三角形全等的知識(shí)解決線段相等的問題;理解直角梯形的重心的意義.