【題目】如圖,在△ABC中,∠BAD=∠DAC,DF⊥AB,DM⊥AC,AF=10cm,AC=14cm,動點E以2cm/s的速度從A點向F點運動,動點G以1cm/s的速度從C點向A點運動,當(dāng)一個點到達(dá)終點時,另一個點隨之停止運動,設(shè)運動時間為t.
(1)求證:在運動過程中,不管t取何值,都有SAED=2SDGC
(2)當(dāng)t取何值時,△DFE與△DMG全等.

【答案】
(1)證明:∵∠BAD=∠DAC,DF⊥AB,DM⊥AC,

∴DF=DM,

∵SAED= AEDF,SDGC= CGDM,

= ,

∵點E以2cm/s的速度從A點向F點運動,動點G以1cm/s的速度從C點向A點運動,

=2,

=2,

∴在運動過程中,不管取何值,都有SAED=2SDGC


(2)解:設(shè)時間為t時,△DFE與△DMG全等,則EF=MG,

①當(dāng)M在線段CG的延長線上時,

∵點E以2cm/s的速度從A點向F點運動,動點G以1cm/s的速度從C點向A點運動,

∴EF=AF﹣AE=10﹣2t,MG=AC﹣CG﹣AM=4﹣t,

即10﹣2t=4﹣t,

解得:t=6,

當(dāng)t=6時,MG=﹣2,所以舍去;

②當(dāng)M在線段CG上時,

∵點E以2cm/s的速度從A點向F點運動,動點G以1cm/s的速度從C點向A點運動,

∴EF=AF﹣AE=10﹣2t,MG=AM﹣(AC﹣CG)=t﹣4,

即10﹣2t=t﹣4,

解得:t= ,

綜上所述當(dāng)t= 時,△DFE與△DMG全等


【解析】(1)由角平分線的性質(zhì)可知DF=DM,所以△AED和△DEG的面積轉(zhuǎn)化為底AE和CG的比值,根據(jù)路程=速度×?xí)r間求出AE和CG的長度即可證明在運動過程中,不管取何值,都有SAED=2SDGC . (2)若△DFE與△DMG全等,則EF=MG,利用已知條件求出EF和MG的長度,建立方程解方程即可求出運動的時間.

練習(xí)冊系列答案
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