Question

如圖，已知等腰△ABC，AB=AC，過A、C兩點的圓⊙O切AB于A，BC的延長線交⊙O于D，∠ABD的角平分線交AC于E，交AD于F．
（1）求證：AE=AF；（2）若AC=CD=2，求AD．

Answer 1

（1）證明：∵BF平分∠ABD，
∴∠AEF=∠BAC+∠ABC，∠AFE=∠ADB+∠ABC，
又∵∠BAC=∠ADB，
∴AE=AF；

（2）解：∵AB是⊙O切線，AC=CD=2，
∴AB²=BC•BD
∴4=BC×（BC+2）
∴BC=-1，BC=--1（舍去），
∵AC=CD=2，
∴∠CAD=∠D，
∵AB是⊙O切線，
∴∠BAC=∠D，
∴AC是∠BAD的平分線，
∴=，
∴=
∴AD=．
答；AD的長為．
分析：（1）根據(jù)弦切角定理可知∠BAC=∠ADB，由∠ABD的角平分線交AC于E，交AD于F，可得∠AEF=∠BAC+∠ABC，∠AFE=∠ADB+∠ABC，問題得證；
（2）根據(jù)AC=CD=2，利用切割線定理求出BC，再求證AC是∠BAD的平分線，然后可得=即可得出答案，
點評：此題主要考查學生對切割線定理、弦切角定理的理解和掌握，解答（2）的關鍵是利用切割線定理求出BC，然后再利用角平分線的性質(zhì)即可求出AD．