Question

如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A(－1，0)、B(3，0)，與y軸交于點(diǎn)C(0，3)．

（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）若點(diǎn)P是拋物線第一象限上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ∥AC交x軸于點(diǎn)Q．當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為            時，四邊形PQAC是平行四邊形;當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為                 時，四邊形PQAC是等腰梯形. (利用備用圖畫圖，直接寫出結(jié)果，不寫求解過程)．

（3）若P為線段BD上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，求四邊形PMAC的面積的最大值和此時點(diǎn)P的坐標(biāo)

 

Answer 1

【答案】

（1），（1，4）；（2）（2，3）；（）；（3）四邊形PMAC的面積取得最大值為，此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）.

【解析】

試題分析：（1）將拋物線的解析式設(shè)為交點(diǎn)式，可用待定系數(shù)法較簡捷地求得拋物線的解析式，將其化為頂點(diǎn)式即可求得頂點(diǎn)D的坐標(biāo).

（2）①如圖1，四邊形PQAC是平行四邊形時，

∵CP∥x軸，點(diǎn)P在拋物線上，∴點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對稱軸x=1對稱.

∵C(0，3)，∴P（2，3）.

②如圖2，四邊形PQAC是等腰梯形時，設(shè)P（m，），

過點(diǎn)P作PH⊥x軸于點(diǎn)H，則H（m，0）.

易得△ACO∽△QNP，∴.

∵OA=1，OC=3，HP=，∴，即.

∴AQ=AO+OH－QH=�！�.

又由勾股定理得，.

由四邊形PQAC是等腰梯形得AQ=CP，即AQ²=CP²，

∴，整理得，解得或.

當(dāng)時，由①知CP∥AQ，四邊形PQAC是平行四邊形，不符合條件，舍去.

當(dāng)時，CP與AQ不平行，符合條件。∴P（）.

（3）求出直線BD的解析式，設(shè)定點(diǎn)P的坐標(biāo)，由列式，根據(jù)二次函數(shù)最值原理，即可求得四邊形PMAC的面積的最大值和此時點(diǎn)P的坐標(biāo).

試題解析：（1）∵拋物線y＝ax²＋bx＋c(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A(－1，0)、B(3，0)，

∴可設(shè)拋物線的解析式為.

又∵拋物線y＝ax²＋bx＋c(a≠0) 與y軸交于點(diǎn)C(0，3)，

∴，解得.

∴拋物線的解析式為，即.

又∵，∴拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4）.

（2）（2，3）；（）.

（3）設(shè)直線BD的解析式為，

由B（3，0），D（1，4）得，解得.

∴直線BD的解析式為.

∵點(diǎn)P在直線PD上，∴設(shè)P（p，）.

則OA=1，OC=3，OM= p，PM=.

∴ .

∵，∴當(dāng)時，四邊形PMAC的面積取得最大值為，此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）.

考點(diǎn)：1.二次函數(shù)綜合題；2.待定系數(shù)法；3.曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系；4.二次函數(shù)的性質(zhì)；5.平行四邊形的判定；6.等腰梯形的判定；7.相似三角形的判定和性質(zhì)勾股定理；8.解一元二次方程.