Question

【題目】如圖，已知是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)，同時(shí)從，兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿，勻速運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度是，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度是，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，，兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，解答下列問(wèn)題：

（1）如圖①，當(dāng)為何值時(shí)，；

（2）如圖②，當(dāng)為何值時(shí)，為直角三角形；

（3）如圖③，作交于點(diǎn)，連接，當(dāng)為何值時(shí)，與相似？

Answer 1

【答案】（1）；（2）3或；（3）或2

【解析】

（1）先表示出AQ=2t，AP=6-t，利用AP=3AQ建立方程求解即可得出結(jié)論；
（2）分兩種情況，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)（30度角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半）建立方程求解即可得出結(jié)論；
（3）先表示出BD=2t，再分兩種情況：①當(dāng)△BPD∽△PDQ時(shí)，判斷出∠APQ=∠BDP，進(jìn)而判斷出△APQ∽△BDP，得出比例式建立方程求解；
②當(dāng)△BPQ∽△QDP時(shí)，得出∠B=∠DQP=60°，進(jìn)而判斷出△APQ是等邊三角形，得出AP=AQ建立方程求解即可得出結(jié)論．

（1）由題意知，，，

∵是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，

∴，，

∴，

∵，

∴，

∴，

即：秒時(shí)，；

（2）由（1）知，，，

∵為直角三角形，

①當(dāng)時(shí)，，

∴，∴秒，

②當(dāng)時(shí)，，

∴，

∴秒，

即：秒或秒時(shí)，是直角三角形；

（3）由題意知，，，

∴，

∵是等邊三角形，

∴，

∵，

∴，，

∴是等邊三角形，

∴，

∴，

∵與相似，

∴①當(dāng)時(shí)，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴秒，

②當(dāng)時(shí)，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴是等邊三角形，

∴，

∴，

∴秒，

即：秒或2秒時(shí)，與相似．