Question

如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，四邊形OBHC為矩形，CH的延長(zhǎng)線交拋物線于點(diǎn)D（5，2），連結(jié)BC、AD.

【小題1】求C點(diǎn)的坐標(biāo)及拋物線的解析式；
【小題2】將△BCH繞點(diǎn)B按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后再沿x軸對(duì)折得到△BEF（點(diǎn)C與點(diǎn)E對(duì)應(yīng)），判斷點(diǎn)E是否落在拋物線上，并說明理由；
【小題3】設(shè)過點(diǎn)E的直線交AB邊于點(diǎn)P，交CD邊于點(diǎn)Q. 問是否存在點(diǎn)P，使直線PQ分梯形ABCD的面積為1∶3兩部分？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由

Answer 1

【小題1】∵四邊形OBHC為矩形，∴CD∥AB，

又D（5，2），
∴C（0，2），OC="2" . …………………………… 2分
∴   解得
∴拋物線的解析式為：…… 4分
【小題2】點(diǎn)E落在拋物線上. 理由如下：……… 5分
由y = 0，得.
解得x1=1，x2="4." ∴A（4，0），B（1，0）.  …………………………… 6分
∴OA=4，OB=1.
由矩形性質(zhì)知：CH=OB=1，BH=OC=2，∠BHC=90°，
由旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱性質(zhì)知：EF=1，BF=2，∠EFB=90°，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3，－1）. ……………………………………………… 7分
把x=3代入，得，
∴點(diǎn)E在拋物線上. ………………………………………………………… 8分
【小題3】法一：存在點(diǎn)P（a，0），延長(zhǎng)EF交CD于點(diǎn)G，易求OF=CG=3，PB=a－1.
S梯形BCGF = 5，S梯形ADGF = 3，記S梯形BCQP = S1，S梯形ADQP = S2，
下面分兩種情形：
①當(dāng)S1∶S2 =1∶3時(shí)，，
此時(shí)點(diǎn)P在點(diǎn)F（3，0）的左側(cè)，則PF = 3－a，
由△EPF∽△EQG，得，則QG=9－3a，
∴CQ=3－(9－3a) ="3a" －6
由S1=2，得，解得；………………… 11分
②當(dāng)S1∶S2=3∶1時(shí)，
此時(shí)點(diǎn)P在點(diǎn)F（3，0）的右側(cè)，則PF = a－3，
由△EPF∽△EQG，得QG = 3a－9，∴CQ =" 3" +（3 a－9）=" 3" a－6，
由S1= 6，得，解得.
綜上所述：所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）或（，0）……… 14分
法二：存在點(diǎn)P（a，0）. 記S梯形BCQP = S1，S梯形ADQP = S2，易求S梯形ABCD = 8.
當(dāng)PQ經(jīng)過點(diǎn)F（3，0）時(shí)，易求S1=5，S2 = 3，
此時(shí)S1∶S2不符合條件，故a≠3.
設(shè)直線PQ的解析式為y = kx+b(k≠0)，則，解得，
∴. 由y = 2得x = 3a－6，∴Q（3a－6，2）…… 10分
∴CQ = 3a－6，BP = a－1，.
下面分兩種情形：
①當(dāng)S1∶S2 = 1∶3時(shí)，= 2；
∴4a－7 = 2，解得；…………………………………………… 12分
②當(dāng)S1∶S2 = 3∶1時(shí)，；
∴4a－7 = 6，解得；
綜上所述：所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）或（，0）………… 14分

解析