Question

下列命題：
①若b=2a+

1

2

c，則一元二次方程ax²+bx+c=0必有一根為-2；
②若ac＜0，則方程cx²+bx+a=0有兩個不等的實數根；
③若二次三項式4x²+kx+3是一個完全平方式，則k=4

3

；
④若一元二次方程ax²+bx+c=1的兩根之和為p，兩根平方和為q，則aq+pb+2c=2．
其中正確的個數有（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點：命題與定理

專題：

分析：利用一元二次方程的根的定義、根的判別式及根與系數的關系進行判斷后即可得到正確的選項；

解答：解：①由b=2a+

1

2

c得4a-2b+c=0，所以一元二次方程ax²+bx+c=0必有一根為-2，故正確；
②若ac＜0，則b²-4ac＞0，則方程cx²+bx+a=0有兩個不等的實數根，故正確；
③若二次三項式4x²+kx+3是一個完全平方式，則k=±4

3

，故錯誤；
④若一元二次方程ax²+bx+c=1的兩根之和為p，兩根平方和為q，
∴設方程ax²+bx+c=0的兩個實根為x₁，x₂，
則為x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

，
又∵p=x₁+x₂=-

b

a

，q=x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=

b2

a2

-

2c

a

=

b2-2ac

a2

，
則aq+pb+2c=a（

b2-2ac

a2

）+（-

b

a

）×b+2c=0，故錯誤，
故選B．

點評：本題考查了一元二次方程的根的定義、根的判別式及根與系數的關系，難度較大，較抽象．