Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，直線AE交BD于點(diǎn)M，交DC的延長線于點(diǎn)F，G是EF的中點(diǎn)，連結(jié)CG．求證： ①△ABM≌△CBM；
②CG⊥CM．

Answer 1

【答案】證明：①∵四邊形ABCD是正方形， ∴AB=CB，∠ABM=∠CBM，
在△ABM和△CBM中，
，
∴△ABM≌△CBM（SAS），
②∵△ABM≌△CBM，
∴∠BAM=∠BCM，
∵∠ECF=90°，G是EF的中點(diǎn)，
∴GC=GF，
∴∠GCF=∠F，
又∵AB∥DF，
∴∠BAM=∠F，
∴∠BCM=∠GCF，
∴∠BCM+∠GCE=∠GCF+∠GCE=90°，
∴GC⊥CM．
【解析】①利用正方形的性質(zhì)得出AB=CB，∠ABM=∠CBM，進(jìn)而利用SAS得出答案；②直接利用全等三角形的性質(zhì)得出∠BAM=∠BCM，進(jìn)而得出∠BAM=∠F，∠BCM=∠GCF進(jìn)而求出答案．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用正方形的性質(zhì)，掌握正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形即可以解答此題．