Question

【題目】如圖，已知等腰直角三角形△ABC，點P是斜邊BC上一點（不與B，C重合），PE是△ABP的外接圓☉O的直徑.

（1）求證：△APE是等腰直角三角形；

（2）證明△APC≌△AEB；

（3）若☉O的直徑為2，求PC2+PB2的值

Answer 1

【答案】(1)見解答；(2)見解答； (3)4

【解析】

（1）由等腰直角三角形△ABC，得∠C=∠ABP=45°，則∠AEP=∠ABP=45°，由∠PAE=90°，即可解決問題；

（2）由（1）知，AP=AE，∠PAC=∠BAE，又AC=AB，即可得到△APC≌△AEB；

（3）由（2）得CP=BE，又PE是直徑，則△PBE是直角三角形，則，即可得到.

解：（1）在等腰直角三角形△ABC中，

∴∠C=∠ABP=45°，∠BAC=90°，

∴∠AEP=∠ABP=45°，

∵PE是直徑，

∴∠PAE=90°，

∴∠APE=∠AEP=45°，

∴AP=AE，

∴△APE是等腰直角三角形.

（2）∵△ABC與△APE是等腰直角三角形

∴AP=AE，AC=AB，∠CAB=∠PAE=90°，

∴∠CAB-∠PAB=∠PAE-∠PAB，

即∠PAC=∠BAE，

∴△APC≌△AEB；

（3）由△APC≌△AEB，得CP=BE，

∴PE是直徑，

∴∠PBE=90°,則△PBE是直角三角形，

∴，

∵CP=BE，PE=2，

∴.