Question

【題目】如圖，MN是⊙O的直徑，MN=4，點(diǎn)A在⊙O上，∠AMN=30°，B為 的中點(diǎn)，P是直徑MN上一動(dòng)點(diǎn)．

（1）利用尺規(guī)作圖，確定當(dāng)PA+PB最小時(shí)P點(diǎn)的位置（不寫作法，但要保留作圖痕跡）．
（2）求PA+PB的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1所示，點(diǎn)P即為所求；

（2）

解：由（1）可知，PA+PB的最小值即為A′B的長，連接OA′、OB、OA，

∵A′點(diǎn)為點(diǎn)A關(guān)直線MN的對稱點(diǎn)，∠AMN=30°，

∴∠AON=∠A′ON=2∠AMN=2×30°=60°，

又∵B為 的中點(diǎn)，

∴ = ，

∴∠BON=∠AOB= ∠AON= ×60°=30°，

∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=60°+30°=90°，

又∵M(jìn)N=4，

∴OA′=OB= MN= ×4=2，

∴Rt△A′OB中，A′B= =2 ，即PA+PB的最小值為2

【解析】（1）作點(diǎn)A關(guān)于MN的對稱點(diǎn)A′，連接A′B，與MN的交點(diǎn)即為點(diǎn)P；（2）由（1）可知，PA+PB的最小值即為A′B的長，連接OA′、OB、OA，先求∠A′OB=∠A′ON+∠BON=60°+30°=90°，再根據(jù)勾股定理即可得出答案．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解圓周角定理的相關(guān)知識，掌握頂點(diǎn)在圓心上的角叫做圓心角;頂點(diǎn)在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個(gè)交點(diǎn)的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半，以及對軸對稱-最短路線問題的理解，了解已知起點(diǎn)結(jié)點(diǎn)，求最短路徑；與確定起點(diǎn)相反，已知終點(diǎn)結(jié)點(diǎn)，求最短路徑；已知起點(diǎn)和終點(diǎn)，求兩結(jié)點(diǎn)之間的最短路徑；求圖中所有最短路徑．