Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線y=x2﹣6mx+5與y軸的交點為A，與x軸的正半軸分別交于點B（b，0），C（c，0）．
（1）當b=1時，求拋物線相應的函數表達式；
（2）當b=1時，如圖，E（t，0）是線段BC上的一動點，過點E作平行于y軸的直線l與拋物線的交點為P．求△APC面積的最大值；

（3）當c=b+n時，且n為正整數，線段BC（包括端點）上有且只有五個點的橫坐標是整數，求b的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當b=1時，將點B（1，0）代入拋物線y=x2﹣6mx+5中，得m=1，

∴y=x2﹣6x+5

（2）

解：如圖1中，直線AC與PE交于點F．

當b=1時，求得A（0，5），B（1，0），C（5，0），可得AC所在的一次函數表達式為y=﹣x+5，

∵E（t，0），

∴P （t，t2﹣6t+5），直線l與AC的交點為F（t，﹣t+5），

∴PF=（﹣t+5）﹣（t2﹣6t+5）=﹣t2+5t，

∴S△APC= ×（﹣t2+5t）5=﹣ （t﹣ ）2+ ，

∵﹣ ＜0，

∴當t= 時，面積S有最大值

（3）

解：①當b整數時，n為整數，

∴n=4，c=b+4．則b，b+4是方程x2﹣mx+5=0的兩個根，分別代入方程中，

得b2﹣mb+5=0 ①，（b+4）2﹣m（b+4）+5=0 ②，

由①②可得b2+4b﹣5=0，解得b=1或﹣5（舍）；

或由一元二次方程根與系數的關系得 b（b+4）=5解得b=1或﹣5（舍）．

②當b小數時，n為整數，∴n=5，c=b+5為小數，則b，b+5是方程x2﹣mx+5=0的兩個根，同樣可得b= 或 （舍棄）；

∴b=1或

【解析】（1）當b=1時，將點B（1，0）代入拋物線y=x2﹣6mx+5中求出m，即可解決問題．（2）如圖1中，直線AC與PE交于點F．切線直線AC的解析式，構建二次函數，利用二次函數的性質即可解決問題．（3）分兩種情形①當b整數時，n為整數，可知n=4，c=b+4．則b，b+4是方程x2﹣mx+5=0的兩個根，分別代入方程中求解即可，②當b小數時，n為整數，∴n=5，c=b+5為小數，則b，b+5是方程x2﹣6x+5=0的兩個根，
【考點精析】本題主要考查了二次函數的圖象和二次函數的性質的相關知識點，需要掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．