Question

【題目】如圖，BF⊥AC于點(diǎn)F，CE⊥AB于點(diǎn)E，BF與CE交于D，且BD=CD．

(1)求證：D在∠BAC的平分線上；

(2)若將條件：BD=CD和結(jié)論：D在∠BAC的平分線上互換，結(jié)論成立嗎？試說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）成立，理由見解析.

【解析】

（1）先通過“角角邊”證明Rt△BED≌Rt△CFD，得到DE=DF，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出證明；

（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DE=DF，再通過“角邊角”證明Rt△BED≌Rt△CFD，得到BD=CD.

（1）證明：∵BF⊥AC，CE⊥AB，

∴∠BED＝∠CFD＝90°，

在Rt△BED和Rt△CFD中，

∵（對(duì)頂角相等），

∴Rt△BED≌Rt△CFD（AAS），

∴DE＝DF（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等），

∴D在∠BAC的平分線上（到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上）；

（2）解：成立．理由如下：

∵點(diǎn)D在∠BAC的平分線上，且BF⊥AC，CE⊥AB，

∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，

在Rt△BED和Rt△CFD中，

∵，

∴Rt△BED≌Rt△CFD（ASA），

∴BD＝DC（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）．