Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，點E、F分別為邊BC、CD上兩點，∠EAF=45°， 過點A作∠GAB=∠FAD,且點G為邊CB延長線上一點.①△GAB≌△FAD嗎？說明理由。②若線段DF=4， BE=8，求線段EF的長度。③若DF=4,CF=8.求線段EF的長度。

Answer 1

【答案】（1）全等 (2)7 (3)EF=10

【解析】(1)、根據(jù)正方形的性質(zhì)得出AB=AD,∠ABG=∠D，結(jié)合∠GAB=∠FAD得出三角形全等；(2)、根據(jù)三角形全等得出BG=DF=4，AG=AF，根據(jù)∠EAF=45°以及三角形全等、正方形的性質(zhì)得出∠GAE=∠EAF，從而得出△GAE和△FAE全等，從而得出答案；(3)、根據(jù)第二題的結(jié)論得出答案．

（1）全等

證明：∵四邊形ABCD為正方形， ∴AB=AD,∠ABG=∠D，

在△ABG和△ADF中 ∵∠GAB=∠FAD，AB=AD,∠ABG=∠D， ∴△GAB≌△FAD.

（2）解：∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，∴∠DAF+∠BAE=45°，

∵△GAB≌△FAD， ∴∠GAB=∠FAD，AG=AF， ∴∠GAB+∠BAE=45°，∴∠GAE =45°，

∴∠GAE=∠EAF， 在△GAE和△FAE中，∵AG=AF, ∠GAE=∠EAF,AE=AE，

∴△GAE≌△FAE（SAS）， ∴EF=GE， ∵△GAB≌△FAD，∴GB=DF，

∴EF=GE=GB+BE=FD+BE=3+4=7；

(3)EF=10．