Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC、BC的長為方程x²-14x+a=0的兩根，且AC-BC=2，D為AB的中點．
（1）求a的值．
（2）動點P從點A出發(fā)，以每秒2個單位的速度，沿A→D→C的路線向點C運(yùn)動；動點Q從點B出發(fā)，以每秒3個單位的速度，沿B→C的路線向點C運(yùn)動，且點Q每運(yùn)動1秒，就停止2秒，然后再運(yùn)動1秒…若點P、Q同時出發(fā)，當(dāng)其中有一點到達(dá)終點時整個運(yùn)動隨之結(jié)束．設(shè)運(yùn)動時間為t秒．
①在整個運(yùn)動過程中，設(shè)△PCQ的面積為S，試求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；并指出自變量t的取值范圍；
②是否存在這樣的t，使得△PCQ為直角三角形？若存在，請求出所有符合條件的t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出AC+BC=14，求出AC和BC，即可求出答案；
（2）根據(jù)勾股定理求出AB，sinB，過C作CE⊥AB于E，關(guān)鍵三角形的面積公式求出CE，I當(dāng)0＜t≤1時，S=S_△ABC-S_△ACP-S_△PBQ=

1

2

AC•BC-

1

2

AP•CE-

1

2

BQ•BPsinB，求出即可；II同理可求：當(dāng)1＜t≤2.5時，S=S_△ABC-S_△ACP-S_△PBQ=

1

2

×8×6-

1

2

×2t×

24

5

-

1

2

×3×（10-2t）×

4

5

=-

12

5

t+12；III當(dāng)2.5＜t≤3時，S=-

12

5

t+12，IIII當(dāng)3＜t＜4時，S=

1

2

CQ•CPsin∠BCD=

1

2

CQ•CPsin∠B=

1

2

×（6-3t）×（10-2t）×

4

5

=

12

5

t²-

84

5

t+24；②在整個運(yùn)動過程中，只可能∠PQC=90°，當(dāng)P在AD上時，若∠PQC=90°，cosB=

BC

AB

=

BQ

BP

，代入即可求出t；當(dāng)P在DC上時，若∠PQC=90°，sinA=sin∠CPQ，

3

5

=

CQ

CP

，得到，

12-3t

10-2t

=

3

5

或

3

10-2t

=

3

5

，求出t，根據(jù)t的范圍1＜t＜4，判斷即可．

解答：解：（1）∵AC、BC的長為方程x²-14x+a=0的兩根，
∴AC+BC=14，
又∵AC-BC=2，
∴AC=8，BC=6，
∴a=8×6=48，
答：a的值是48．

（2）∵∠ACB=90°，
∴AB=

AC2+BC2

=10．
又∵D為AB的中點，
∴CD=

1

2

AB=5，
∵sinB=

AC

AB

=

4

5

，
過C作CE⊥AB于E，
根據(jù)三角形的面積公式得：

1

2

AC•BC=

1

2

AB•CE，
6×8=10CE，
解得：CE=

24

5

，

過P作PK⊥BQ于K，
∵sinB=

PK

PB

，
∴PK=PB•sinB，
∴S_△PBQ=

1

2

BQ×PK=

1

2

BQ•BPsinB，
（I）當(dāng)0＜t≤1時，S=S_△ABC-S_△ACP-S_△PBQ=

1

2

AC•BC-

1

2

AP•CE-

1

2

BQ•BPsinB，
=

1

2

×8×6-

1

2

×2t×

24

5

-

1

2

×3t×（10-2t）×

4

5

，
=

12

5

t²-

84

5

t+24，
（II）同理可求：當(dāng)1＜t≤2.5時，S=S_△ABC-S_△ACP-S_△PBQ=

1

2

AC•BC-

1

2

AP•CE-

1

2

BQ•BPsinB，
=

1

2

×8×6-

1

2

×2t×

24

5

-

1

2

×3×（10-2t）×

4

5

，
=-

12

5

t+12；
（III）當(dāng)2.5＜t≤3時，
S=

1

2

CQ•PCsin∠BCD=

1

2

×3×（10-2t）×

4

5

=-

12

5

t+12；
（IIII）當(dāng)3＜t＜4時，
∵△PHC∽△BCA，
∴

PC

BA

=

PH

BC

，
∴

10-2t

10

=

PH

8

，
∴PH=8-1.6t，
∴S=

1

2

CQ•PH=

1

2

CQ•PH=

1

2

×（6-3t）×（8-1.6t）
=

12

5

t²-

108

5

t+48．
答：S與t之間的函數(shù)關(guān)系式是：
S=

12

5

t²-

84

5

t+24（0＜t≤1）
或S=-

12

5

t+12（1＜t≤2.5），
或S=-

12

5

t+12（2.5＜t≤3），
或S=

12

5

t²-

108

5

t+48．（3＜t＜4）．

②解：在整個運(yùn)動過程中，只可能∠PQC=90°，
當(dāng)P在AD上時，若∠PQC=90°，cosB=

BC

AB

=

BQ

BP

，
∴

3

10-2t

=

3

5

，
∴t=2.5，
當(dāng)P在DC上時，若∠PQC=90°，
sinA=sin∠CPQ，

4

5

=

CQ

CP

，

12-3t

10-2t

=

3

5

，或

3

10-2t

=

3

5

，
t=

10

3

，或t=2.5，
∵1＜t＜4，
∴t=

10

3

，t=2.5，符合題意，
∴當(dāng)t=2.5秒或

10

3

秒時，△PCQ為直角三角形．
答：存在這樣的t，使得△PCQ為直角三角形，符合條件的t的值是2.5秒，

10

3

秒．

點評：本題主要考查對銳角三角函數(shù)的定義，根據(jù)實際問題列二次函數(shù)的解析式，勾股定理，三角形的面積，直角三角形的性質(zhì)，解一元一次方程，根與系數(shù)的關(guān)系等知識點的理解和掌握，把實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題是解此題的關(guān)鍵，此題是一個拔高的題目，有一定的難度．