Question

10．通過學(xué)習(xí)三角函數(shù)，我們知道在直角三角形中，一個銳角的大小與兩條邊長的比值相互唯一確定，因此邊長與角的大小之間可以相互轉(zhuǎn)化．類似的，可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯(lián)系．我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對（sad）．如圖①在△ABC中，AB=AC，頂角A的正對記作sadA，這時sadA=$\frac{底邊}{腰}=\frac{BC}{AB}$．容易知道一個角的大小與這個角的正對值也是相互唯一確定的．根據(jù)上述角的正對定義，解下列問題：
（1）sad60°=1．
（2）對于0°＜A＜180°，∠A的正對值sadA的取值范圍是0＜sadA＜2．
（3）如圖②，Rt△ABC中，已知sinA=$\frac{3}{5}$，其中∠A為銳角，試求sadA的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，求出底角的度數(shù)，判斷出三角形為等邊三角形，再根據(jù)正對的定義解答；
（2）求出0度和180度時等腰三角形底和腰的比即可；
（3）過B作BD⊥AC于D，在Rt△ABD中，根據(jù)余弦函數(shù)的定義設(shè)BD=3k，AB=5k，由勾股定理求出AD=4k，則DC=k，然后在Rt△BDC中，求出BC=$\sqrt{10}$k，最后根據(jù)正對的定義即可求解．

解答 解：（1）根據(jù)正對定義，
當(dāng)頂角為60°時，等腰三角形底角為60°，
則三角形為等邊三角形，
則sad60°=$\frac{1}{1}$=1．
故答案為：1．

（2）當(dāng)∠A接近0°時，sadA接近0，
當(dāng)∠A接近180°時，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故sadA接近2．
于是sadA的取值范圍是0＜sadA＜2．
故答案為0＜sadA＜2．

（3）如圖，過B作BD⊥AC于D．
在Rt△ABD中，sinA=$\frac{BD}{AB}=\frac{3}{5}$．
設(shè)BD=3k，AB=5k，則AD=4k，
∴DC=AC-AD=AB-AD=5k-4k=k．
在Rt△BDC中，BC=$\sqrt{B{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{10}$k，
∴sadA=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{\sqrt{10}k}{5k}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

點評 此題是三角形綜合題，主要考查了新定義，三角函數(shù)，等腰三角形，三角形的高，理解新定義是解本題的關(guān)鍵．