Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，AC是對角線，今有較大的直角三角板，一邊始終經(jīng)過點(diǎn)B，直角頂點(diǎn)P在射線AC上移動(dòng)，另一邊交DC于Q．
（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)Q在DC邊上時(shí)，猜想并寫出PB與PQ所滿足的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；
（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)Q落在DC的延長線上時(shí)，猜想并寫出PB與PQ滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．

Answer 1

【答案】
（1）解：結(jié)論：PB=PQ，

理由：如圖①中，過P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)．

∵P為正方形對角線AC上的點(diǎn)，

∴PC平分∠DCB，∠DCB=90°，

∴PF=PE，

∴四邊形PECF為正方形．

∵∠BPE+∠QPE=90°，∠QPE+∠QPF=90°，

∴∠BPE=∠QPF，

在△PQF和△PBE中，

，

∴Rt△PQF≌Rt△PBE，

∴PB=PQ；

（2）解：結(jié)論：PB=PQ．

理由：如圖②，過P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)，

∵P為正方形對角線AC上的點(diǎn)，

∴PC平分∠DCB，∠DCB=90°，

∴PF=PE，

∴四邊形PECF為正方形，

∵∠BPF+∠QPF=90°，∠BPF+∠BPE=90°，

∴∠BPE=∠QPF，

在△PQF和△PBE中，

，

∴Rt△PQF≌Rt△PBE，

∴PB=PQ．

【解析】（1）結(jié)論：PB=PQ，如圖①中，過P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)．只要證明Rt△PQF≌Rt△PBE即可．（2）結(jié)論不變，證明方法類似．