Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c經過A （-1，0）、B （3，0）、C （0，3）三點，對稱軸與拋物線相交于點P、與直線BC相交于點M．

（1）求該拋物線的解析式：

 

；
（2）在BC上方的拋物線上是否存在一點K，使四邊形ABKC的面積最大？若存在，求出K點的坐標及最大面積；
（3）連接CP，在第一象限的拋物線上是否存在一點R，使△RPM與△RMB的面積相等？若存在，求出點R的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：二次函數綜合題

專題：

分析：（1）把三點坐標代入函數式，列式求得a，b，c的值，即求出解析式；
（2）設存在點K，使得四邊形ABKC的面積最大，根據點K在拋物線y=-x²+2x+3上設點K的坐標為：（x，-x²+2x+3），根據S_{四邊形ABKC}=S_△AOC+S_梯形ONKC+S_△BNK得到有關x的二次函數求得最大值即可．
（3）求得點M，由點M，P的縱坐標關系可知，點R存在，y=2代入解得．

解答：解：（1）把三點代入拋物線解析式

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=3

即得：

a=-1 b=2 c=3

所以二次函數式為y=-x²+2x+3；

（2）設存在點K，使得四邊形ABKC的面積最大
∵點K在拋物線y=-x²+2x+3上，
∴設點K的坐標為：（x，-x²+2x+3），
作KN⊥AB于點N，
根據題意得：AO=1，OC=3，ON=x，BN=3-x，KN=-x²+2x+3，
∴S_{四邊形ABKC}=S_△AOC+S_梯形ONKC+S_△BNK
=

1

2

AO•CO+

1

2

（OC+KN）•ON+

1

2

KN•BN
=

1

2

×1×3+

1

2

×（3-x²+2x+3）•x+

1

2

×（x-3）（-x²+2x+3）
=-

3

2

x²+

9

2

x+6
=-

3

2

（x-

3

2

）²+

75

8

，
∵x=

3

2

時，-x²+2x+3=-

9

4

+2×

3

2

+3=

15

4

，
∴在BC上方的拋物線上存在一點K（

3

2

，

15

4

），使四邊形ABKC的面積最大，最大面積為

75

8

；

（3）由題意求得直線BC代入x=1，則y=2，
∴M（1，2），
由點M，P的坐標可知：
點R存在，即過點M平行于x軸的直線，
則代入y=2，x²-2x-1=0，
解得x=1-

2

（在對稱軸的左側，舍去），x=1+

2

，即點R（1+

2

，2）．

點評：本題考查了二次函數的綜合運用，考查到了三點確定二次函數解析式；點M的縱坐標的長度是點P的一半，從而解得．本題邏輯思維性強，需要耐心和細心，是道好題．