【題目】如圖①,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點(diǎn)E在AC上(且不與點(diǎn)A,C重合),在△ABC的外部作△CED,使∠CED=90°,DE=CE,連接AD,分別以AB,AD為鄰邊作平行四邊形ABFD,連接AF.
(1)請(qǐng)直接寫出線段AF,AE的數(shù)量關(guān)系 ;
(2)將△CED繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí),如圖②,連接AE,請(qǐng)判斷線段AF,AE的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(3)在圖②的基礎(chǔ)上,將△CED繞點(diǎn)C繼續(xù)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),請(qǐng)判斷(2)問中的結(jié)論是否發(fā)生變化?若不變,結(jié)合圖③寫出證明過程;若變化,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)AF=AE;(2)AF=AE,證明詳見解析;(3)結(jié)論不變,AF=AE,理由詳見解析.
【解析】試題分析:(1)如圖①中,結(jié)論:AF=AE,只要證明△AEF是等腰直角三角形即可.(2)如圖②中,結(jié)論:AF=AE,連接EF,DF交BC于K,先證明△EKF≌△EDA再證明△AEF是等腰直角三角形即可.(3)如圖③中,結(jié)論不變,AF=AE,連接EF,延長FD交AC于K,先證明△EDF≌△ECA,再證明△AEF是等腰直角三角形即可.
試題解析:(1)如圖①中,結(jié)論:AF=AE.
理由:∵四邊形ABFD是平行四邊形,
∴AB=DF,
∵AB=AC,
∴AC=DF,
∵DE=EC,
∴AE=EF,
∵∠DEC=∠AEF=90°,
∴△AEF是等腰直角三角形,
∴AF=AE.
(2)如圖②中,結(jié)論:AF=AE.
理由:連接EF,DF交BC于K.
∵四邊形ABFD是平行四邊形,
∴AB∥DF,
∴∠DKE=∠ABC=45°,
∴EKF=180°﹣∠DKE=135°,
∵∠ADE=180°﹣∠EDC=180°﹣45°=135°,
∴∠EKF=∠ADE,
∵∠DKC=∠C,
∴DK=DC,
∵DF=AB=AC,
∴KF=AD,
在△EKF和△EDA中,
,
∴△EKF≌△EDA,
∴EF=EA,∠KEF=∠AED,
∴∠FEA=∠BED=90°,
∴△AEF是等腰直角三角形,
∴AF=AE.
(3)如圖③中,結(jié)論不變,AF=AE.
理由:連接EF,延長FD交AC于K.
∵∠EDF=180°﹣∠KDC﹣∠EDC=135°﹣∠KDC,
∠ACE=(90°﹣∠KDC)+∠DCE=135°﹣∠KDC,
∴∠EDF=∠ACE,
∵DF=AB,AB=AC,
∴DF=AC
在△EDF和△ECA中,
,
∴△EDF≌△ECA,
∴EF=EA,∠FED=∠AEC,
∴∠FEA=∠DEC=90°,
∴△AEF是等腰直角三角形,
∴AF=AE.
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表一 演講答辯得分
表二 民主測評(píng)得票
規(guī)則:①演講答辯得分按“去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后,再算出平均分”的方法確定;②民主測評(píng)得分=“好”票數(shù)×2分+“較好”票數(shù)×1分+“一般”票數(shù)×0分;③演講答辯得分和民主測評(píng)得分按4:6確定權(quán)重,計(jì)算綜合得分,請(qǐng)你計(jì)算一下甲、乙的綜合得分,選出班長.
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