Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= x2+ax2+bx﹣ （a＞0，b∈R），f（x）在x=x1和x=x2處取得極值，且|x1﹣x2|= ，曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線與直線x+y=0垂直． （Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）證明關(guān)于x的方程（k2+1）ex﹣1﹣kf′（x）=0至多只有兩個(gè)實(shí)數(shù)根（其中f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）求導(dǎo)f′（x）=x2+2ax+b，由f（x）在x=x1和x=x2處取得極值， 則x1 ， x2是方程x2+2ax+b=0的兩個(gè)根，則x1+x2=﹣2a，x1x2=b，
由|x1﹣x2|= ，則（x1+x2）2﹣4x1x2=5，則4a2﹣4b=5，①
由曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線與直線x+y=0垂直，
則f′（1）=1，
即2a+b+1=0，②，
解得： ．
∴f（x）= x3+ x2﹣x﹣ ，
（Ⅱ）對(duì)于（k2+1）ex﹣1﹣kf′（x）=0，
當(dāng)k=0時(shí)，ex﹣1=0，方程為實(shí)根，
當(dāng)k≠0時(shí)，k+ = ，令g（x）= ，
g′（x）=﹣e =﹣e ，
當(dāng)x∈（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）時(shí)，g′（x）＜0，
∴g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間（﹣∞，﹣1），（2，+∞）單調(diào)遞增區(qū)間（﹣1，2），
函數(shù)g（x）在x=﹣1和x=2處分別求得極小值和極大值，
g（x）極小=g（﹣1）=﹣e2＜0，g（x）極大=g（2）= ＞0，
∴對(duì)于g（x）= ，由ex﹣1＞0恒成立，
且y=x2+x﹣1時(shí)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
從而g（x）無(wú)極大值，g（x）min=g（x）極小=g（﹣1）=﹣e2 ，
當(dāng)k＜0時(shí)，k+ ≤﹣2直線y=k+ ，與曲線y=g（x）至多有兩個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)k＞0時(shí)，k+ ≥2＞ =g（x）極大 ， 直線y=k+ ，與曲線y=g（x）只有一個(gè)交點(diǎn)，
∴方程（k2+1）ex﹣1﹣kf′（x）=0至多只有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
【解析】（Ⅰ）由題意可知x1 ， x2是方程x2+2ax+b=0的兩個(gè)根，利用韋達(dá)定理及|x1﹣x2|= ，求得4a2﹣4b=5，由f′（1）=1，2a+b+1=0聯(lián)立即可求得a和b的值，求得f（x）的解析式；（Ⅱ）由題意可知當(dāng)k≠0時(shí)，k+ = ，構(gòu)造輔助函數(shù)，求導(dǎo)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的極值及最值，利用基本不等式的性質(zhì)，當(dāng)k＜0時(shí)，k+ ≤﹣2直線y=k+ ，與曲線y=g（x）至多有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)k＞0時(shí)，k+ ≥2＞ =g（x）極大 ， 直線y=k+ ，與曲線y=g（x）只有一個(gè)交點(diǎn)，即可求證方程至多有兩個(gè)實(shí)根．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)，掌握求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值．