Question

如圖，⊙O為△ABC的外接圓，弦CD平分∠ACB，∠ACB=90°，求證：CA+CB=

2

CD．

Answer 1

證明：連接AD，BD，過A作AM⊥CD，過B作BN⊥CD，垂足分別為M、N，
∵AB為直徑，CD平分∠ACB交⊙O于D，
∴∠ACD=∠BCD=

1

2

∠ACB=45°，
∴△ACM與△BCN都是等腰直角三角形，AD=BD，
在Rt△ACM中，CM=

2

2

CA，在Rt△BCN中，CN=

2

2

CB，
∴CM+CN=

2

2

（CA+CB），
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADM+∠BDN=90°，
又∵∠BDN+∠DBN=90°，
∴∠ADM=∠DBN，
在△ADM與△BDN中，

∠ADM=∠DBN ∠AMD=∠DNB=90° AD=BD

，
∴△ADM≌△BDN（AAS），
∴DN=AM，
又∵AM=CM（等腰直角三角形兩直角邊相等），
∴CM=DN，
∴CD=CN+DN=CN+CM=

2

2

（CA+CB），
∴CA+CB=

2

CD．