【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,弦CD與AB交于點(diǎn)E,過點(diǎn)B的切線BP與CD的延長線交于點(diǎn)P,連接OC,CB.
(1)求證:AEEB=CEED;
(2)若⊙O的半徑為3,OE=2BE,=,求線段DE和PE的長.
【答案】(1)證明見解析;(2)DE=;PE=3.
【解析】
(1)連接AC,BD,如圖,利用圓周角定理得到∠CAE=∠CDB,∠ACE=∠DBE,即可證明△ACE∽△DBE,進(jìn)而得到結(jié)論;
(2)先計(jì)算出OE=2,BE=1,利用CEDE=AEBE得到CEDE═5,利用CE=DE可計(jì)算出CE和DE的長.利用切割線定理和勾股定理得到PDPC=PE2-BE2,即(PE-)(PE+3)=PE2-1,然后解關(guān)于PE的方程即可.
(1)連接AC,BD,
∵∠CAE=∠CDB,∠ACE=∠DBE,
∴△ACE∽△DBE,
∴AE:DE=CE:BE,
∴AEEB=CEED;
(2)∵OE+BE=3,OE=2BE,
∴OE=2,BE=1,
∴AE=5,
∴CEDE=5×1=5,
∵=,
∴CE=DE,
∴DEDE=5,解得:DE=,
∴CE=3.
∵PB為切線,
∴∠PBD+∠ABD=90°,
∵AB是直徑,
∴∠PCB+∠ACD=90°,
∵∠ABD=∠ACD,
∴∠PBD=∠PCB,
∵∠P=∠P,
∴PBD~PCB,
∴,
∴PB2=PDPC,
而PB2=PE2-BE2,
∴PDPC=PE2-BE2,即(PE-)(PE+3)=PE2-1,
∴PE=3.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,一次函數(shù)y=2x+b的圖象與x軸的交點(diǎn)為A(2,0),與y軸的交點(diǎn)為B,直線AB與反比例函數(shù)y=的圖象交于點(diǎn)C(﹣1,m).
(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式;
(2)直接寫出關(guān)于x的不等式2x+b>的解集;
(3)點(diǎn)P是這個(gè)反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn),過點(diǎn)P作PM⊥x軸,垂足為點(diǎn)M,連接OP,BM,當(dāng)S△ABM=2S△OMP時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx經(jīng)過△OAB的三個(gè)頂點(diǎn),其中點(diǎn)A(1,),點(diǎn)B(3,﹣),O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式;
(2)若P(4,m),Q(t,n)為該拋物線上的兩點(diǎn),且n<m,求t的取值范圍;
(3)若C為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)A,點(diǎn)B到直線OC的距離之和最大時(shí),求∠BOC的大小及點(diǎn)C的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,已知:點(diǎn)A(0,0),B(,0),C(0,1)在△ABC內(nèi)依次作等邊三角形,使一邊在x軸上,另一個(gè)頂點(diǎn)在BC邊上,作出的等邊三角形分別是第1個(gè)△AA1B1,第2個(gè)△B1A2B2,第3個(gè)△B2A3B3,…,則第個(gè)等邊三角形的邊長等于__________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】規(guī)定:如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,且其中一個(gè)根是另一個(gè)根的2倍,則稱這樣的方程為“倍根方程”.現(xiàn)有下列結(jié)論: ①方程x2+2x﹣8=0是倍根方程;
②若關(guān)于x的方程x2+ax+2=0是倍根方程,則a=±3;
③若關(guān)于x的方程ax2﹣6ax+c=0(a≠0)是倍根方程,則拋物線y=ax2﹣6ax+c與x軸的公共點(diǎn)的坐標(biāo)是(2,0)和(4,0);
④若點(diǎn)(m,n)在反比例函數(shù)y=的圖象上,則關(guān)于x的方程mx2+5x+n=0是倍根方程.
上述結(jié)論中正確的有( )
A. ①② B. ③④ C. ②③ D. ②④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若雙曲線y=kx-1與直線y=-2x+10在2≤x≤4時(shí)有且只有一個(gè)公共點(diǎn),則對k的取值要求是______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,拋物線y=x2﹣x+2與直線y=x﹣2的圖象如圖,點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則點(diǎn)P到直線y=x﹣2的最短距離為( 。
A.B.C.2D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我們給出如下定義:有一組相鄰內(nèi)角相等的四邊形叫做等鄰角四邊形.請解答下列問題:
(1)寫出一個(gè)你所學(xué)過的特殊四邊形中是等鄰角四邊形的圖形的名稱;
(2)如圖1,在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D在BC上,且CD=CA,點(diǎn)E、F分別為BC、AD的中點(diǎn),連接EF并延長交AB于點(diǎn)G.求證:四邊形AGEC是等鄰角四邊形;
(3)如圖2,若點(diǎn)D在△ABC的內(nèi)部,(2)中的其他條件不變,EF與CD交于點(diǎn)H,圖中是否存在等鄰角四邊形,若存在,指出是哪個(gè)四邊形,并證明;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一元二次方程x2+2x﹣3=0的二根x1,x2(x1<x2)是拋物線y=ax2+bx+c與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)B,C的橫坐標(biāo),且此拋物線過點(diǎn)A(3,6).
(1)求此二次函數(shù)的解析式;
(2)寫出不等式ax2+bx+c≥0的解集;
(3)設(shè)此拋物線的頂點(diǎn)為P,對稱軸與線段AC相交于點(diǎn)Q,求點(diǎn)P和點(diǎn)Q的坐標(biāo);
(4)在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)M,當(dāng)MQ+MA取得最小值時(shí),求M點(diǎn)的坐標(biāo).
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