Question

已知：△ABC是邊長為4的等邊三角形,點O在邊AB上,⊙O過點B且分別與邊AB,BC相交于點D,E,EF⊥AC,垂足為F.

（1）求證：直線EF是⊙O的切線；

（2）當(dāng)直線DF與⊙O相切時,求⊙O的半徑.

 

Answer 1

【答案】

（1）證明見解析；（2）⊙O的半徑是.

【解析】

試題分析：（1）連接OE，得到∠OEB =60°,從而OE∥AC.，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到直線EF是⊙O的切線；

（2）連接DF,DE.構(gòu)造直角三角形，解直角三角形即可。

試題解析：（1）連接OE

∵△ABC是等邊三角形,

∴∠ABC=∠C=60°.

∵OB=OE,

∴∠OEB=∠C =60°,

∴OE∥AC.

∵EF⊥AC,

∴∠EFC=90°.

∴∠OEF=∠EFC=90°.

∴OE⊥EF,

∵⊙O與BC邊相交于點E,

∴E點在圓上.

∴EF是⊙O的切線；

(2)連接DF,DE.

∵DF是⊙O的切線,

∴∠ADF=∠BDF=90°

設(shè)⊙O的半徑為r,則BD=2r,

∵AB=4,

∴AD=4-2r,

∵BD=2r,∠B=60°,

∴DE=r,

∵∠BDE=30°,∠BDF=90°.

∴∠EDF=60°,

∵DF、EF分別是⊙O的切線,

∴DF=EF=DE=r,

在Rt△ADF中,

∵∠A=60°,

∴tan∠DFA= 

解得.

∴⊙O的半徑是

考點：圓相關(guān).