Question

【題目】拋物線y1=mx2+（m﹣3）x﹣3（m＞0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，與y軸交于點(diǎn)C，OB=OC．

（1）求這條拋物線的表達(dá)式；
（2）將拋物線y1向左平移n（n＞0）個(gè)單位，記平移后y隨著x的增大而增大的部分為P，若點(diǎn)C在直線y2=﹣3x+t上，直線y2向下平移n個(gè)單位，當(dāng)平移后的直線與P有公共點(diǎn)時(shí)，求n的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵拋物線與y軸交于點(diǎn)C，

∴C（0，﹣3）．

∵拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，OB=OC，

∴B（3，0）或B（﹣3，0）．

∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，m＞0，

∴拋物線經(jīng)過點(diǎn)B（3，0）．

∴0=9m+3（m﹣3）﹣3．

∴m=1．

∴拋物線的表達(dá)式為y1=x2﹣2x﹣3

（2）解：由（1）可知：y1=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∵點(diǎn)C在直線y2=﹣3x+t上，

∴t=﹣3，

∴y2=﹣3x﹣3，

y1向左平移n個(gè)單位后，則表達(dá)式為：y3=（x﹣1+n）2﹣4，

則當(dāng)x≥1﹣n時(shí)，y隨x增大而增大，

y2向下平移n個(gè)單位后，則表達(dá)式為：y4=﹣3x﹣3﹣n，

要使平移后直線與P有公共點(diǎn)，則當(dāng)x=1﹣n，y3≤y4，

即（1﹣n﹣1+n）2﹣4≤﹣3（1﹣n）﹣3﹣n，

解得：n≥1

【解析】（1）由拋物線的解析式易求點(diǎn)C的坐標(biāo)，進(jìn)而可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式可求出m的值，則拋物線的解析式也可求出；（2）由點(diǎn)C在直線y2=﹣3x+t上，可知t=﹣3，若y1向左平移n個(gè)單位后，則表達(dá)式為：y3=（x﹣1+n）2﹣4，若y2向下平移n個(gè)單位后，則表達(dá)式為：y4=﹣3x﹣3﹣n，要使平移后直線與P有公共點(diǎn)，則當(dāng)x=1﹣n，y3≤y4 ， 進(jìn)而可求出n的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用二次函數(shù)圖象的平移和拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握平移步驟：（1）配方 y=a(x-h)2+k，確定頂點(diǎn)（h,k）（2）對(duì)x軸左加右減；對(duì)y軸上加下減；一元二次方程的解是其對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點(diǎn)．當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac<0時(shí)，圖像與x軸沒有交點(diǎn)．